Уравнение Шредингера

    \[ \]

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

    \[  \[W\left(x.y.z\right),\ V(p_x,p_y,p_z)\]

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к. состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных

    \[(х и p_x.)\]

, а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов. Итак, состояние квантовой частицы можно характеризовать волновой функцией (комплексной), в двух представлениях — либо в координатном:

    \[\Psi (x.y.z,t)\]

, либо в импульсном:

    \[Y(p_x,p_y.p_z.t.)\]

. Уравнение движения свободной частицы особенно просто выглядит в импульсном представлении, т.к. импульс свободной частицы сохраняется. Это означает на квантовом языке, что функция

    \[Y(p_x,p_y.p_z.)\]

.не зависит от времени.

Уравнение Шредингера
Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости. И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени. Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

    \[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta \Psi+U(x,y,z,t) \Psi  \qquad (1)\]

где

    \[\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\]

– оператор Лапласа, x.y.z. – координаты,

    \[\hbar\]

— постоянная Планка, деленная на

    \[2\pi\]

.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Если

    \[U\left(x,y,z,\right)\]

не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

    \[ \Psi \left(x,y,z;t\right)=exp\left(-\frac{i}{\hbar }Et\right) \Psi \left(x,y,z\right) \quad \qquad \qquad (2)  \]

где E-полная энергия квантовой системы, а

    \[\Psi \left(x,y,z\right)\]

удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

    \[-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta  \Psi +U(x,y,z) \Psi =E \Psi  \quad \qquad \qquad (3)   \]

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера
С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно. В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл. Можно сказать, в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. События же всегда случайны и совершаются непредсказуемо.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции. Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы. Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингера

    \[\Psi \left(x,y,z;t\right)\]

прямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения

    \[ \left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\cdot  \Psi ^*\left(x,y,z;t\right)\right|={\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2=w\]

,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где

    \[ \Psi ^*\left(x,y,z;t\right) \]

-комплексно сопряженная функция с

    \[\Psi \left(x,y,z;t\right)\]

.

    \[W=\int_V{wdV}=\int_V{{\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2dV} \]

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.