Период математического маятника

    \[ \]

Период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается.

    \[\LARGE T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

Для математического маятника выполняются некоторые законы:

1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..

Давайте выведем формулу периода математического маятника.

На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:

    \[\Large m \vec a= \vec F_{упр}+m\vec g\]

С проецируем все на ось ОХ:

    \[\Large ma_x=mg\cdot sin\theta\]

При малых углах sin\theta\]

    \[\Large sin\theta=\theta =\frac{x}{l}\]

Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:

    \[\Large a_x+ \frac{g}{l}x\]

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

    \[\Large a_x(t)+\omega ^2 x(t)=0\]

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

    \[\Large \omega=\sqrt{\frac{g}{l} }\]

Тогда период математического маятника будет равен:

    \[\Large T=\frac{2\pi }{\omega } =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p

Так же есть:

Период пружинного маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Период физического маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}\]

Период крутильного маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}\]

В Формуле мы использовали :

T — Период математического маятника

L — Длина подвеса

g=9.8 — Ускорение свободного падения

    \[ \omega \]

— Циклическая частота пружинного маятника

F — Сила упругости

x — Длина дуги АВ