Уравнение моментов

    \[ \]

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через

    \[\overline{r}\]

радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы

    \[\overline{F}\]

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом силы

    \[\overline{F}\]

относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора

    \[\overline{r}\]

на силу

    \[\overline{F}\]

:

    \[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F} \qquad \qquad (1)\]

направление

    \[\overline{M}\]

выбирается так, чтобы последовательность векторов

    \[\overline{r},\overline{F},\overline{M} \]

образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора

    \[\overline{M}\]

, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом

    \[\overline{M\ }\]

совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от

    \[ \overline{r}, к \[\overline{F}\]

по наикратчайшему пути.

Моментом

    \[\overline{M\ }\]

нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

    \[ \[\overline{M}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{F_i}} \qquad \qquad (2)\]

Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора

    \[\overline{r}\]

на импульс

    \[\overline{p}\]

:

    \[\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p} \qquad \qquad (3)\]

    \[\overline{L}=J\overline{w} \qquad \qquad (4)\]

где J— момент инерции,

    \[\overline{w}\]

— угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

    \[\overline{L}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{p_i}} \qquad \qquad (5)\]

Производная по времени от момента импульса \overline{L} механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил {\overline{M}}^{vnesh}, действующих на систему:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh} \qquad \qquad (6)\]

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}\]

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

    \[\frac{dL_x}{dt}=M^{vnesh}_x,\ \frac{dL_y}{dt}=M^{vnesh}_y,\ \frac{dL_z}{dt}=M^{vnesh}_z \qquad (7)\]

где

    \[L_x,L_y,L_z\]

— проекции момента импульса на соответствующую ось;

    \[M^{vnesh}_x,M^{vnesh}_y,\ M^{vnesh}_z\]

— проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач