Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через
радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Моментом силы
относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора
на силу
:
направление
выбирается так, чтобы последовательность векторов
образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора
, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом
совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от
по наикратчайшему пути.
Моментом
нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:
Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора
на импульс
:
где J— момент инерции,
— угловая скорость вращения тела.
Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:
Производная по времени от момента импульса \overline{L} механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил {\overline{M}}^{vnesh}, действующих на систему:
Для материальной точки уравнение моментов записывается:
Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:
где
— проекции момента импульса на соответствующую ось;
— проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.
Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:
найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач