Барометрическая формула

    \[ \]

Барометрическая формула — определяет зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести

    \[\Large P=P_0\cdot \exp  [\frac{Mgh}{RT}]\]

Давайте теперь узнаем, откуда же получается барометрическая формула. Давление газа на некой высоте, определяется как :

    \[\Large P=\frac{F}{S}=\frac{\rho ghS}{S}=\rho gh \]

Теперь возьмем колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой

    \[dh\]

. Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину

    \[dP\]

:

    \[\Large dP=-\rho gdh \]

Знак минус необходим для того, что с увеличением высоты давление уменьшается

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, можно воспользоваться уравнением Менделеева — Клапейрона

    \[\Large PV=\nu RT=\frac{m}{M}RT\]

Из этого уравнения выражаем давление

    \[\Large P=\frac{m}{VM}RT=\frac{\rho}{M}RT\]

А теперь можно и плотность газа

    \[\Large \rho=\frac{MP}{RT}\]

Подставляя найденную плотность газа в дифференциальное уравнение

    \[dP\]

, мы получаем :

    \[\Large \frac{dP}{P}=\frac{Mg}{RT}dh\]

Сделав все преобразования. мы получаем зависимость давления P от высоты подъема h. Теперь необходимо проинтегрировать обе части нашего уравнения:

    \[\Large\int \frac{dP}{P}=\int \frac{Mg}{RT}dh\]

Проинтегрировав, у нас полечилась вот такое уравнение:

    \[\Large \ln P=-\frac{Mgh}{RT}+\lnP_0\]

И теперь последний рывок, это взять логарифм. И у нас получится Барометрическое уравнение.

    \[\Large P=P_0\cdot \exp  [\frac{Mgh}{RT}] \]

В Формуле мы использовали :

P — Давление газа (атмосферное)

    \[ P_0\]

— Давление газа над уровнем моря

h — Высота над уровнем моря

    \[\rho\]

— Плотность газа

g=9,8 — Ускорение свободного падения

    \[k=1.38\cdot10^{-23}\]

— Постоянная Больцмана

T — Температура

m — Масса одной молекулы

R=8.31 — Универсальная газовая постоянная

M — Молярная масса

    \[\nu\]

— Количество вещества

    \[ N_a=6,02\cdot10^{23}\]

— Число Авогадро