Уравнение Пуассона

    \[ \]

Уравнение Пуассона описывает адиабатный процесс, протекающий в идеальном газе. Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой:

    \[\delta Q =0\]

.Уравнение Пуассона имеет вид:

    \[ \[PV^{k} =const \]

Здесь V – объем, занимаемый газом, P – его давление, а величина k называется показателем адиабаты.

Уравнение Пуассона
Показатель адиабаты в уравнении Пуассона
Показатель адиабаты можно рассчитать, как отношение изобарной теплоемкости газа к его изохорной теплоемкости:

    \[  \[k=\frac{C_{p}}{C_{V}} \]

В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен

    \[\frac{5}{3}\]

, для двухатомного –

    \[\frac{7}{5}\]

, а для трёхатомного –

    \[\frac{4}{3}\]

.

Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет

    \[P_1\]

. Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного

    \[P_A\]

. После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до

    \[P_2\]

. Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:

    \[  \[k=\frac{P_1 -P_{A}}{P_1 -P_2} \]

Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики:

    \[\delta Q =\Delta U+A\]

, где

    \[\Delta U\]

— внутренняя энергия системы, а А – выполняемая над ней работа. Поскольку

    \[\delta Q =0\]

, то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:

    \[  \[A=\frac{nRT}{k-1} (1-(\frac{V_1}{V_2} )^{k-1} )\]

Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.

Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.