Уравнение Шредингера

    \[ \]

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

    \[  \[W\left(x.y.z\right),\ V(p_x,p_y,p_z)\]

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к. состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных

    \[(х и p_x.)\]

, а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов. Итак, состояние квантовой частицы можно характеризовать волновой функцией (комплексной), в двух представлениях — либо в координатном:

    \[\Psi (x.y.z,t)\]

, либо в импульсном:

    \[Y(p_x,p_y.p_z.t.)\]

. Уравнение движения свободной частицы особенно просто выглядит в импульсном представлении, т.к. импульс свободной частицы сохраняется. Это означает на квантовом языке, что функция

    \[Y(p_x,p_y.p_z.)\]

.не зависит от времени.

Уравнение Шредингера
Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости. И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени. Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

    \[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta \Psi+U(x,y,z,t) \Psi  \qquad (1)\]

где

    \[\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\]

– оператор Лапласа, x.y.z. – координаты,

    \[\hbar\]

— постоянная Планка, деленная на

    \[2\pi\]

.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Если

    \[U\left(x,y,z,\right)\]

не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

    \[ \Psi \left(x,y,z;t\right)=exp\left(-\frac{i}{\hbar }Et\right) \Psi \left(x,y,z\right) \quad \qquad \qquad (2)  \]

где E-полная энергия квантовой системы, а

    \[\Psi \left(x,y,z\right)\]

удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

    \[-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta  \Psi +U(x,y,z) \Psi =E \Psi  \quad \qquad \qquad (3)   \]

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера
С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно. В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл. Можно сказать, в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. События же всегда случайны и совершаются непредсказуемо.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции. Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы. Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингера

    \[\Psi \left(x,y,z;t\right)\]

прямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения

    \[ \left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\cdot  \Psi ^*\left(x,y,z;t\right)\right|={\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2=w\]

,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где

    \[ \Psi ^*\left(x,y,z;t\right) \]

-комплексно сопряженная функция с

    \[\Psi \left(x,y,z;t\right)\]

.

    \[W=\int_V{wdV}=\int_V{{\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2dV} \]

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

    \[ \]

Суть фотоэффекта состоит в способности атомов к ионизации под действием света.
Если атомы подвергнуть облучению светом, то свет будет поглощаться атомами. Естественно допустить, что при определённых условиях поглощение будет столь велико, что внешние (валентные) электроны будут отрываться от атомов. Это явление наблюдается в действительности. Классическая электродинамика, обычная волновая теория света не в состоянии дать удовлетворительное объяснение фотоэффекту. Эйнштейн выдвигает предположение, что свет сам по себе имеет корпускулярную природу, что имеет смысл смотреть на свет не как на поток волн, а как на поток частиц. Свет не только излучается, но и распространяется и поглощается в виде квантов! Эти кванты, или частицы, световой энергии Эйнштейн назвал фотонами.

Фотоны, падая на поверхность металла, проникают на очень короткое расстояние в металл и поглощаются нацело отдельными его электронами проводимости. Они сразу же увеличивают свою энергию до значения, достаточного, чтобы преодолеть потенциальный барьер вблизи поверхности металла, и вылетают наружу.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
Из закона сохранения энергии следует уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, вызываемого монохроматическим светом:

    \[  \[h\nu =A+\frac{mv^2_{max}}{2}\]

где

    \[h\nu\]

– энергия фотона, m — масса электрона, A — работа выхода электрона.

Данное уравнение означает, что энергия фотона после поглощения его, с одной стороны, расходуется на преодоление потенциального барьера (эта часть энергии называется работой выхода электрона из металла), а с другой стороны, частично сохраняется у электрона вне металла в виде кинетической энергии. Это соотношение подтверждает тот факт, что энергия фотоэлектронов, действительно, никак не зависит от интенсивности света, а линейно зависит от частоты света. Уравнение Эйнштейна позволяет измерить постоянную Планка h.

Из уравнения Эйнштейна следует существование красной границы фотоэффекта.

При достаточно низкой частоте света фотоэффект не наблюдается: энергии фотона не хватает на преодоление потенциального барьера. Та критическая частота, при которой прекращается фотоэффект, называется красной границей фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта определяется работой выхода:

    \[  \[h{\nu }_{kr}=A\]

У различных металлов красная граница фотоэффекта различна

Основные положения квантовой физики

В 1900г. немецкий физик М.Планк своими исследованиями продемонстрировал, что излучение энергии происходит дискретно, определенными порциями — квантами, энергия которых зависит от частоты световой волны. Теория М.Планка не нуждалась в концепции эфира и преодолевала противоречия и трудности электродинамики Дж.Максвелла. Эксперименты М.Планка привели к признанию двойственного характера света, который обладает одновременно корпускулярными и волновыми свойствами. Понятно, что такой вывод был несовместим с представлениями классической физики. Теория М.Планка положила начало новой квантовой физики, которая описывает процессы, протекающие в микромире.

Опираясь на идеи М.Планка, А.Эйнштейн предложил фотонную теорию света, согласно которой свет есть поток движущихся квантов. Квантовая теория света (фотонная теория) рассматривает свет как волну с прерывистой структурой. Свет есть поток неделимых световых квантов — фотонов. Гипотеза А.Эйнштейна позволила объяснить явление фотоэффекта — выбивания электронов из вещества под действием электромагнитных волн. Стало ясно, что электрон выбивается фотоном лишь в том случае, если энергия фотона достаточна для преодоления силы взаимодействия электронов с атомным ядром. В 1922 г. за создание квантовой теории света А.Эйнштейн получил Нобелевскую премию.

Объяснение процесса фотоэффекта опиралось, помимо квантовой гипотезы М.Планка, также на новые представления о строении атома. В 1911г. английский физик Э.Резерфорд предложил планетарную модель атома. Модель представляла собой атом как положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Возникающая при движении электронов по орбитам сила уравновешивается притяжением между положительно заряженным ядром и отрицательно заряженными электронами. Общий заряд атома равен нулю, поскольку заряды ядра и электронов равны друг другу. Почти вся масса атома сосредоточена в его ядре, а масса электронов ничтожно мала. С помощью планетарной модели атома было объяснено явление отклонения альфа-частиц при прохождении через атом. Поскольку размеры атома велики по сравнению с размерами электронов и ядра, альфа-частица без препятствий проходит через него. Отклонение наблюдается только тогда, когда альфа-частица проходит близко от ядра, в этом случае электрическое отталкивание вызывает ее резкое отклонение от первоначального пути. В 1913г. датский физик Н.Бор предложил более совершенную модель атома, дополнив идеи Э.Резерфорда новыми гипотезами. Постулаты Н.Бора звучали следующим образом:

1. Постулат стационарных состояний. Электрон совершает в атоме устойчивые орбитальные движения по стационарным орбитам, не испуская и не поглощая энергии.

2. Правило частот. Электрон способен переходить с одной стационарной орбиты на другую, при этом испуская или поглощая энергию. Поскольку энергии орбит дискретны и постоянны, то при переходе с одной из них на другую всегда испускается или поглощается определенная порция энергии.

Первый постулат позволил ответить на вопрос: почему электроны при движении по круговым орбитам вокруг ядра не падают на него, т.е. почему атом остается устойчивым образованием?

Второй постулат объяснил прерывность спектра излучения электрона. Квантовые постулаты Н.Бора означали отказ от классических физических представлений, которые до этого времени считались абсолютно истинными.

Несмотря на быстрое признание теория Н.Бора все же не давала ответов на многие вопросы. В частности, ученым не удавалось точно описать многоэлектронные атомы. Выяснилось, что это связано с волновой природой электронов, представлять которые в виде твердых частиц, движущихся по определенным орбитам, ошибочно.

В действительности состояния электрона могут меняться. Н.Бор предположил, что микрочастицы не являются ни волной, ни корпускулой. При одном типе измерительных приборов они ведут себя как непрерывное поле, при другом — как дискретные материальные частицы. Выяснилось, что представление о точных орбитах движения электронов также ошибочно. Вследствие своей волновой природы электроны скорее «размазаны» по атому, причем весьма неравномерно. В определенных точках плотность их заряда достигает максимума. Кривая, связывающая точки максимальной плотности заряда электрона, и представляет собой его «орбиту».

В 20-30-е гг. В.Гейзенберг и Л. де Бройль заложили основы новой теории — квантовой механики. В 1924г. в работе «Свет и материя»

Л. де Бройль высказал предположение об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому все микрообъекты могут вести себя и как волны, и как частицы. На основе уже установленной дуальной (корпускулярной и волновой) природы света он высказал идею о волновых свойствах любых материальных частиц. Так, например, электрон ведет себя как частица, когда движется в электромагнитном поле, и как волна, когда проходит сквозь кристалл. Эта идея получила название корпускулярно-волнового дуализма. Принцип корпускулярно-волнового дуализма устанавливает единство дискретности и непрерывности материи.

В 1926г. Э.Шредингер на основе идей Л. де Бройля построил волновую механику. По его мнению, квантовые процессы — это волновые процессы, поэтому классический образ материальной точки, занимающей определенное место в пространстве, адекватен только макропроцессам и совершенно неверен для микромира. В микромире частица существует одновременно и как волна, и как корпускула. В квантовой механике электрон можно представить как волну, длина которой зависит от ее скорости. Уравнение Э.Шредингера описывает движение микрочастиц в силовых полях и учитывает их волновые свойства.

На основе этих представлений в 1927г. был сформулирован принцип дополнительности, по которому волновые и корпускулярные описания процессов в микромире не исключают, а взаимно дополняют друг друга, и только в единстве дают полное описание. При точном измерении одной из дополнительных величин другая претерпевает неконтролируемое изменение. Понятия частицы и волны не только дополняют друг друга, но и в то же время противоречат друг другу. Они являются дополняющими картинами происходящего. Утверждение корпускулярно-волнового дуализма стало основой квантовой физики.

В 1927г. немецкий физик В.Гейзенберг пришел к выводу о невозможности одновременного, точного измерения координаты частицы и ее импульса, зависящего от скорости, эти величины мы можем определить только с определенной степенью вероятности. В классической физике предполагается, что координаты движущегося объекта можно определить с абсолютной точностью. Квантовая механика существенно ограничивает эту возможность. В.Гейзенберг в работе «Физика атомного ядра» изложил свои идеи.

Вывод В. Гейзенберга получил название принципа соотношения неопределенностей, который лежит в основе физической интерпретации квантовой механики. Его суть в следующем: невозможно одновременно иметь точные значения разных физических характеристик микрочастицы — координаты и импульса. Если мы получаем точное значение одной величины, то другая остается полностью неопределенной, существуют принципиальные ограничения на измерение физических величин, характеризующих поведение микрообъекте.

Таким образом, заключил В.Гейзенберг, реальность различается в зависимости от того, наблюдаем мы ее или нет. «Квантовая теория уже не допускает вполне объективного описания природы», — писал он. Измерительный прибор влияет на результаты измерения, т.е. в научном эксперименте влияние человека оказывается неустранимым. В ситуации эксперимента мы сталкиваемся с субъект-объектным единством измерительного прибора и изучаемой реальности.

Важно отметить, что это обстоятельство не связано с несовершенством измерительных приборов, а является следствием объективных, корпускулярно-волновых свойств микрообъектов. Как утверждал физик М. Борн, волны и частицы — это только «проекции» физической реальности на экспериментальную ситуацию.

Два фундаментальных принципа квантовой физики — принцип соотношения неопределенностей и принцип дополнительности — указывают на то, что наука отказывается от описания только динамических закономерностей. Законы квантовой физики — статистические. Как пишет В.Гейзенберг, «в экспериментах с атомными процессами мы имеем дело с вещами и фактами, которые столь же реальны, сколь реальны любые явления повседневной жизни. Но атомы или элементарные частицы реальны не в такой степени. Они образуют скорее мир тенденций или возможностей, чем мир вещей и фактов». В дальнейшем квантовая теория стала базой для ядерной физики, а в 1928г. П.Дирак заложил основы релятивистской квантовой механики.