Максимальная высота подъема тела

    \[ \]

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту.

    \[\LARGE H_{max}=\frac{(\upsilon _0sin\alpha )^2}{2g}\]

Тут мы использовали :

    \[H_{max}\]

— Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

    \[ \upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

    \[\alpha\]

— Угол под котором было брошено тело

    \[g = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Скорость свободного падения

Перемещения при равномерном поступательном движении формула

    \[ \]

Перемещения при равномерном поступательном движении — есть ничто иное, как произведение скорости \upsilon на время t

    \[  \Large S=\upsilon*t\]

Так же, перемещение равно площади заштрихованной фигуры

Тут мы использовали :

    \[  \upsilon\]

— Скорость равномерного поступательного движения

S — Расстояние пройденное телом

t — Время, которое двигалось тело

Период обращения

    \[ \]

Период обращения — Время, за которое тело совершает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2 пи, называется периодом обращения

    \[\LARGE T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{1}{n }\]

Сидерические периоды обращения планет Солнечной системы:

Период обращения (меркурий, венера, солнце, земля)

Найдем период обращения:

Если, например, за время t = 4 с тело, двигаясь по окружности, совершило n = 2 оборота, то легко сообразить, что один оборот длился 2 с. Это и есть период обращения. Обозначается он буквой Т и определяется по формуле

    \[\Large T=\frac{1}{n }\]

Найдем частоту обращения:

Если, например, за время t = 4 с тело совершило n = 20 оборотов,то за 1 с оно успевало совершить 5 оборотов. Это число и выражает частоту обращения. Обозначается она греческой буквой V (читается: ню) и определяется по формуле:

    \[\Large \omega =\frac{n}{T}\]

За единицу частоты обращения в СИ принимают частоту обращения, при которой за каждую секунду тело совершает один оборот. Эта единица обозначается так: 1/с или с-1 (читается: секунда в минус первой степени).

В формуле мы использовали :

T — Период обращения

    \[ \omega\]

— Частота обращения

n — Число оборотов

Прямолинейное равномерное движение

    \[ \]

Прямолинейное равномерное движение — это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени, тело проходит одинаковое расстояние.

Равномерное движение — это такое движение тела, при котором его скорость остается постоянной (v=const ),то есть все время движется с одной скоростью, а ускорение или замедление не происходит (a=0).

Прямолинейное движение — это движение тела по прямой линии, то есть траектория у нас получается — прямая.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор скорости совпадает с вектором перемещения. При всем этом средняя скорость в любой промежуток времени равна начальной и мгновенной скорости:

    \[\Large v_{cp}=v\]

Скорость равномерного прямолинейного движения — это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела \vec S за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:

    \[\Large \vec v  =\frac{\vec S}{t}\]

Из данной формулы. мы легко можем выразить перемещение тела при равномерном движении:

    \[\Large \vec S  =\vec v \cdot  t\]

Рассмотрим зависимость скорости и перемещения от времени

Так как тело у нас движется прямолинейно и равноускоренно (v=const ), то график с зависимостью скорости от времени будет выгладить, как параллельная прямая оси времени.

Зависимость скорости от времени

В зависимости проекции скорости тела от времени ничего сложного нет. Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Проекция скорости от времени

На графике мы видим зависимость перемещения от времени.

Перемещение от времени

Из графика видно, что проекция скорости равна:

    \[\Large v  =\frac{S_1}{t_1}= tg\alpha\]

Рассмотрев эту формулу. мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется наше тело и оно проходит больший путь за меньшее время

В Формуле мы использовали :

    \[v_{cp}\]

-Средняя скорость равномерного прямолинейного движения

v — Скорость равномерного прямолинейного движения

S — Перемещение тела (расстояние, на которое передвинулось тело)

t — Промежуток времени перемещения (время)

    \[\alpha\]

— Угол наклона графика к оси времени

Скорость брошенного тела под углом к горизонту

    \[ \]

Скорость тела под углом к горизонту

    \[\LARGE \upsilon _x=\upsilon _0cos\alpha\]

    \[\LARGE \upsilon _y=\upsilon _0sin\alpha - gt \]

Тут мы использовали :

    \[\upsilon _x\]

— Скорость тела брошенного под углом к горизонту

    \[\upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

    \[ \alpha \]

— Угол под которым было брошено тело

g — Ускорение свободного падения

Скорость при равноускоренном движении по прямой

    \[ \]

Скорость при равноускоренном движении по прямой — это начальная скорость тела плюс ускорение данного тела умноженное на время в пути

    \[\LARGE \upsilon _x=\upsilon _{x0}+a_xt\]

Тут мы использовали :

    \[\upsilon _x\]

— Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

    \[\upsilon _{x0}\]

— Начальная скорость тела

    \[a_x\]

— Ускорение тела

t — Время движения тела

Скорость равномерного поступательного движения

    \[ \]

Скорость равномерного поступательного — Есть ничто иное, как отношение перемещения S к затраченному времени t

    \[ \Large \upsilon=\frac{S}{t}\]

Тут мы использовали :

    \[  \upsilon \]

— Скорость равномерного поступательного движения

S — Расстояние пройденное телом

t — Время, которое двигалось тело

Сложение скоростей

    \[ \]

Сложение скоростей — с помощью данного закона определяется скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта. Она равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы

    \[\Large \vec \nu  =\vec u+ \vec v\]

Для того, чтоб было более понятно, как работает закон сложения скоростей, рассмотрим такой пример. Вагон движется со скоростью 50 км\ч (это будет

    \[\vec u \]

), в вагоне идет человек со скоростью 3 км\ч (это будет

    \[\vec v\]

), найти скорость человека относительно Земли.

Сложение скоростей

У данной задачи будет два решения. Если человек будет идти по направлению движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 53 км\ч.

    \[\Large \nu  = u+v = 50+3=53\]

А если человек будет идти против движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 47 км\ч.

    \[\Large \nu  = u+v = 50-3=47\]

В Формуле мы использовали :

    \[\nu\]

— Конечная скорость тела

u, v — Скорость тел в различных инерциальных системах отчета

Средняя скорость тела

    \[ \]

Средняя скорость тела

При равноускоренном движении

    \[\LARGE \upsilon _{sr}=\upsilon _0+\frac{at}{2}\]

При равномерном движении

    \[\LARGE \upsilon _{sr}=\frac{\upsilon _0+\upsilon }{2} \]

Тут мы использовали :

    \[ \upsilon _{sr}\]

— Средняя скорость тела

    \[\upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

a — Ускорение тела

t — Время движения тела

    \[\upsilon\]

— Скорость тела через некоторый промежуток времени

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

    \[ \]

Потенциальная энергия упруго деформированного тела — физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации.

    \[\LARGE W_p=\frac{kx^2}{2}\]

Энергию деформированного упругого тела также называют энергией положения или потенциальной энергией (ее называют чаще упругой энергией), так как она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина при перемещении ее конца, зависит только от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к не растянутому состоянию, то есть найдем упругую энергию растянутой пружины.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

    \[\large A=-(\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2})= -(W_{p1}-W_{p2})=-\Delta W_p\]

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.

Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, то есть чем больше коэффициент упругости, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной силе, растянувшей ее. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на путь точки приложения силы.

Так же есть:

Потенциальная энергия :

    \[\large W_p=mgh\]

Кинетическая энергия

    \[\Large W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2} \]

Тут мы использовали :

    \[ W_p\]

— Потенциальная энергия упруго деформированного тела

k — Коэффициент упругости пружины

x — Деформация пружины

Работа силы упругости

    \[ \]

Работа силы упругости — работа, совершаемая силой упругости при изменении деформации пружины от некоторого начального значения x1 до конечного значения x2

    \[\LARGE A=-(\frac{kx_2^2}{2}-\frac{kx_1^2}{2}) \]

Вывод формулы работы силы упругости ( через интеграл )

Работа силы упругости в интегральной форме

Коэффициент жесткости пружины k называет­ся жесткостью тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено, а также от его геоме­трических размеров и формы. Жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м). Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Работа силы упругости не зависит от формы траек­тории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости является потенциальными силами.

В формуле мы использовали :

A — Работа силы упругости

k — Коэффициент упругости пружины

x — Деформация пружины

Закон сохранения импульса

    \[ \]

Закон сохранения импульса — Векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия

    \[\Large m_1\upsilon_1+m_2\upsilon _2=m_1\upsilon _1^l +m_2\upsilon _2^l\]

    \[\Large p_1+p_2=p_1^l +p_2^l\]

Докажем закон сохранения импульса.

Возьмем и обозначим массы двух тел

    \[m_1\]

и

    \[m_2\]

и скорости до взаимодействия

    \[\vec\upsilon_1\]

и \

    \[vec\upsilon _2\]

, а после взаимодействия (столкновения)

    \[\vec\upsilon_1^l\]

и

    \[\vec\upsilon _2^l\]

По третьему закон Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить

    \[\vec F_1\]

и

    \[-\vec F _2\]

Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании Импульса силы можно записать так

Для первого тела:

    \[ \large \vec Ft=m_1\vec\upsilon_1^l-m_1\vec\upsilon_1 \]

Для второго тела:

    \[\large -\vec Ft=m_1\vec\upsilon_2^l-m_1\vec\upsilon_2\]

И тогда у нас получается, что закон сохранения импульсов выглядит так:

    \[\large m_1\upsilon_1+m_2\upsilon _2=m_1\upsilon _1^l+m_2\upsilon _2^l\]

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел — от планет и звезд до атомов и элементарных частиц — показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равны нулю, сумма импульсов тел остается неизменной.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета

В Формуле мы использовали :

t — Время взаимодействия тел

    \[ p_1=m_1\upsilon_1\]

— Импульс 1 тела до взаимодействия

    \[p_2=m_2\upsilon _2\]

— Импульс 2 тела до взаимодействия

    \[ p_1^{l}=m_1\upsilon _1^l\]

— Импульс 1 тела после взаимодействия

    \[ p_2^l=m_2\upsilon _2^l\]

— Импульс 2 тела после взаимодействия

Закон сохранения энергии

    \[ \]

Закон сохранения энергии — один из наиболее важных законов, согласно которому физическая величина — энергия сохраняется в изолированной системе. Этому закону подчиняются все без исключения известные процессы в природе. В изолированной системе энергия может только превращаться из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

    \[ \Large W=W_k+W_p=\frac{m\upsilon ^2}{2}+mgh\]

Для того, чтоб понять что же представляет из себя закон и откуда это получается возьмем тело массой m, которое уроним на Землю. В точке 1 тело у нас находится на высоте h и покоится (скорость равна 0). В точке 2 тело тело имеет некоторую скорость v и находится на расстоянии h-h1. В точке 3 тело имеет максимальную скорость и оно почти лежит на нашей Земле, то есть h=0

Закон сохранения энергии

В точке 1 тело имеет только потенциальную энергию, так как скорость тела равно 0,так что полная механическая энергия равна.

    \[\large W=mgh\]

После того как мы тело отпустили, оно стало падать. При падении потенциальная энергия тела уменьшается, так как уменьшается высота тела над Землей, а его кинетическая энергия увеличивается, так как увеличивается скорость тела. На участке 1-2 равном h1 потенциальная энергия будет равна

    \[\large \Delta W=mgh_1\]

А кинетическая энергия будет равная в тот момент

    \[( \upsilon_2\]

— скорость тела в точке 2):

    \[\large \Delta W=\frac{m\upsilon_2 ^2}{2} \]

Чем ближе тело становится к Земле, тем меньше его потенциальная энергия, но в тот же момент увеличивается скорость тела, а из-за этого и кинетическая энергия. То есть в точке 2 работает закон сохранения энергии: потенциальная энергия уменьшается, кинетическая растет.

В точке 3 (на поверхности Земли) потенциальная энергия равна нулю (так как h = 0), а кинетическая максимальна

    \[W=\frac{m\upsilon_3 ^2}{2}\]

(где v3 — скорость тела в момент падения на Землю). Так как

    \[\upsilon_2^2=2gh\]

, то кинетическая энергия в точке 3 будет равна Wk=mgh. Следовательно, в точке 3 полная энергия тела W3=mgh и равна потенциальной энергии на высоте h. Конечная формула закона сохранения механической энергии будет иметь вид:

    \[\Large W=W_k+W_p=\frac{m\upsilon ^2}{2}+mgh \]

Формула выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы: полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию и обратно.

В Формуле мы использовали :

W — Полная энергия тела

    \[W_p\]

— Потенциальная энергия тела

    \[W_k\]

— Кинетическая энергия тела

m — Масса тела

g — Ускорение свободного падения

h — Высота на которой находится тело

\upsilon — Скорость тела

Импульс силы

    \[ \]

Импульс силы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени.

    \[\Large p=Ft=m\upsilon-m\upsilon_0\]

Векторную величину Ft, равную произведению силы на время ее действия, называют импульсом силы. Векторную величину р=mv, равную произведению массы тела на его скорость, называют импульсом тела.

Формула для нахождения импульса тела вытекает из всем извесного Второго закона Ньютона

    \[\Large F=ma \]

А ускорение найдем через разность скоростей на время.

    \[\Large F=m(\frac{\upsilon -\upsilon _0}{t})\]

Отсюда и получается, что импульс силы

    \[\large Ft=m\upsilon-m\upsilon_0\]

Из импульса силы вытекает закон сохранения импульса

    \[\Large m_1\upsilon_1+m_2\upsilon _2=m_1\upsilon _1^'+m_2\upsilon _2^'\]

Так же есть:

Импульс тела

    \[\Large p=m\upsilon\]

В Формуле мы использовали :

p=Ft — Импульс силы

m — Масса тела

F — Сила приложенная к телу

t — Время действия силы

    \[\upsilon\]

— Конечная скорость тела

    \[\upsilon_0\]

— Начальная скорость тела

Импульс тела

    \[ \]

Импульс тела — это физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

    \[\Large p=m\upsilon\]

Каждое тело, которое имеет массу и скорость, так же имеет и импульс.

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени

    \[Δt\]

действовала сила F. Под действием этой силы скорость тела изменилась на

    \[\Delta \upsilon =\vec\upsilon _2-\vec\upsilon _1\]

. Следовательно, тело на промежутке

    \[Δt\]

двигалось с ускорением

    \[\Large \vec a=\frac{\Delta \vec\upsilon }{\Delta t}=\frac{\vec \upsilon _2-\vec\upsilon_1}{\Delta t}\]

На основе Второго закон Ньютона

    \[\Large  \vec F=m \vec a=m\frac{(\vec \upsilon _2-\vec\upsilon _1)}{\Delta t}\]

А если немного преобразовать, то у нас получится:

    \[\Large  \vec F\Delta t=m\vec \upsilon _2-m\vec\upsilon _1=m\Delta \vec\upsilon=\Delta (m\upsilon)\]

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела

    \[m\upsilon\]

. А физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы

    \[F\Delta t\]

.

Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)

В Формуле мы использовали :

p — Импульс тела

m — Масса тела

    \[\upsilon\]

— Скорость тела

Кинетическая энергия

    \[ \]

Кинетическая энергия — скалярная физическая величи­на, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

    \[\LARGE W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2}\]

Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.

Кинетическая-энергия-тела

Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле

    \[A=FScos\alpha\]

. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то

    \[cos\alpha =1\]

, и тогда у нас получается, что работа силы равна

    \[А=Fs\]

. По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:

    \[\large \upsilon _2^2=\upsilon _1^2+2aS\]

Из это формулы мы выражаем перемещение тела:

    \[\large S=\frac{\upsilon _2^2-\upsilon _1^2}{2a}\]

Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:

    \[\large A=\frac{m\upsilon ^2}{2}-\frac{m\upsilon _1^2}{2}\]

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины

    \[\frac{m\upsilon ^2}{2}\]

. А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина

    \[\frac{m\upsilon ^2}{2}\]

представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.

    \[\large W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2} \]

Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится

    \[\large A=W_{k2}-W_{k1}=\Delta  W_k\]

Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела

Так же есть :

Потенциальная энергия :

    \[\large W_p=mgh \]

В формуле мы использовали :

    \[W_k\]

— Кинетическая энергия

m — Масса тела

    \[ \upsilon\]

— Скорость движения тела

    \[ \upsilon_1\]

— Начальная скорость тела

    \[ \upsilon_2\]

— Конечная скорость тела

A — Работа тела

a — Ускорение тела

F — Сила, действующая на тело

S — Перемещение тела

Коэффициент трения скольжения

    \[ \]

Коэффициент трения скольжения — отношение силы трения к нормальной составляющей внешних сил, действующих на поверхности тела.

    \[\Large \mu =\frac{F_{Тр}}{N}\]

Коэффициент трения скольжения выводится из формулы силы трения скольжения

    \[\Large F_{Тр}=\mu N\]

Коэффициент трения скольжения

Так как сила реакции опоры, это масса умножить на ускорение свободного падения, то формула коэффициента получается:

    \[\Large \mu =\frac{F_{Тр}}{mg}\]

Ниже приведена таблица коэффициентов трения скольжения для некоторых материалов:

В Формуле мы использовали :

    \[\mu\]

— Коэффициент трения скольжения

    \[ F_{Тр}\]

— Сила трения скольжения

N — Сила нормальной реакции опоры

m — Масса тела

    \[g  = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Ускорение свободного падения

Уравнение моментов

    \[ \]

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через

    \[\overline{r}\]

радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы

    \[\overline{F}\]

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом силы

    \[\overline{F}\]

относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора

    \[\overline{r}\]

на силу

    \[\overline{F}\]

:

    \[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F} \qquad \qquad (1)\]

направление

    \[\overline{M}\]

выбирается так, чтобы последовательность векторов

    \[\overline{r},\overline{F},\overline{M} \]

образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора

    \[\overline{M}\]

, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом

    \[\overline{M\ }\]

совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от

    \[ \overline{r}, к \[\overline{F}\]

по наикратчайшему пути.

Моментом

    \[\overline{M\ }\]

нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

    \[ \[\overline{M}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{F_i}} \qquad \qquad (2)\]

Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора

    \[\overline{r}\]

на импульс

    \[\overline{p}\]

:

    \[\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p} \qquad \qquad (3)\]

    \[\overline{L}=J\overline{w} \qquad \qquad (4)\]

где J— момент инерции,

    \[\overline{w}\]

— угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

    \[\overline{L}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{p_i}} \qquad \qquad (5)\]

Производная по времени от момента импульса \overline{L} механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил {\overline{M}}^{vnesh}, действующих на систему:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh} \qquad \qquad (6)\]

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}\]

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

    \[\frac{dL_x}{dt}=M^{vnesh}_x,\ \frac{dL_y}{dt}=M^{vnesh}_y,\ \frac{dL_z}{dt}=M^{vnesh}_z \qquad (7)\]

где

    \[L_x,L_y,L_z\]

— проекции момента импульса на соответствующую ось;

    \[M^{vnesh}_x,M^{vnesh}_y,\ M^{vnesh}_z\]

— проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач

Уравнение затухающих колебаний

    \[ \]

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:

    \[\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} +2\beta \frac{\partial x}{\partial t} +\omega_0^2 x=0\]

Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:

    \[x=Ae^{-\beta t} \cos (\omega t +\varphi_0 )\]

либо

    \[x=Ae^{-\beta t} \sin (\omega t +\varphi_0 )\]

.

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда.

    \[\beta\]

– коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

    \[\beta = \frac{r}{2m} \]

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) \omega_0 учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):

    \[\omega_0 =\frac{k}{m} \]

Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:

    \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} \]

Циклическая частота затухающих колебаний
Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:

    \[\omega =\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2} \]

Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:

    \[\tau = \frac{1}{\beta} \]

Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:

    \[D= \frac{A(t)}{A(t+T)} =e^{\beta T} \]

Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:

    \[\lambda =lnD=\beta T\]

Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

    \[Q= \frac{\sqrt{mk}}{r} \]

Вторая космическая скорость

    \[ \]

Вторая космическая скорость — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления его гравитационного притяжения, чтоб удалиться на бесконечно большое расстояние.

    \[\Large  \upsilon _2=\sqrt{2 \frac{GM_3}{R+h}}\]

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой.

Ниже приведена таблица второй космической скорости для некоторых планет нашей солнечной системы:

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по дуге параболы относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой; если чуть меньше, то она превращается в эллипс.

Так же есть:

Первая космическая скорость:

    \[\large  \upsilon _1=\sqrt{\frac{GM_3}{R+h}}\]

В формуле мы использовали :

    \[\upsilon _2\]

— Вторая космическая скорость

    \[ G = 6,67420^{-11}\]

— Гравитационная постоянная

    \[ M_3 = 5.970^{24}\]

— Масса Земли

    \[R = 6.370^6\]

— Радиус Земли

h — Высота тела над поверхностью Земли

Второй закон Кеплера

    \[ \]

Второй закон Кеплера — Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

    \[\LARGE  r^2=\frac{d\theta }{dt}=C \]

    \[\LARGE  C=2\pi a^2\frac{\sqrt{1-e^2}}{P}\]

    \[\LARGE  e=\frac{c}{a}\]

Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

В Формуле мы использовали :

r — Расстояние от планеты до Солнца

a — Расстояние от центра эллипса до края по большему радиусу

c — Расстояние от центра эллипса до солнца

    \[ \theta \]

— Угол на который повернута планета

P — Период обращения планеты вокруг солнца

Второй закон Ньютона

    \[ \]

Второй закон Ньютона — Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение

    \[\Large \vec{F}=m\vec{a}\]

Второй закон Ньютона — Ускорение тела пропорционально силе, действующей на тело

Из Второго закона Ньютона следует :

Ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета:
— Прямо пропорционально действующей на точку силе;
— Обратно пропорционально массе точки;
— Направлено в сторону действия силы.

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например,F1,F2 и F3) то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

F=F1+F2+F3

В формуле мы использовали :

    \[ \vec{F}\]

— Сила действующая на тело

m — Масса тела

    \[\vec{a}\]

— Ускорение тела

Абсолютное удлинение

    \[ \]

Абсолютное удлинение — Показывает на сколько изменилась длина тела (увеличилась или уменьшилась).

    \[\LARGE \Delta l=l-l_0\]

[Метр]

Для того, чтобы было более понятно, что же такое абсолютное удлинение, давайте рассмотрим такой пример. У нас есть металлическая труба длиной 10 метров. К трубе приложили некую силу (сжали ее) и длина трубы стала 2 метра. Тогда абсолютное удлинение будет рассчитываться как:

    \[\large \Delta l=10-2=8\]

То есть, длина тела изменилась на 8 метров.

В Формуле мы использовали :

    \[\Delta l\]

— Абсолютное удлинение тела

l — Начальная длинна тела

    \[l_0\]

— Длина тела, после приложения на него силы

Восприимчивость парамагнитного вещества

    \[ \]

Восприимчивость парамагнитного вещества — характеризующая связь между магнитным моментом (намагниченностью) вещества и магнитным полем в этом веществе

    \[\LARGE X_m=\frac{C}{T}\]

Тут мы использовали :

    \[ X_m\]

— Восприимчивость парамагнитного вещества

C — Постоянная Кюри

T — Абсолютная температура

Компланарные коллинеарные вектора

    \[ \]

Коллинеарные вектора — вектора, которые направлены вдоль параллельных прямых (в одну и ту же или противоположные стороны)

Компланарные вектора — вектор, направления которых параллельны одной и той же плоскости.

Из рисунка можно вывести некоторые соотношения векторов

    \[\Large A=B;   A=-C;   B=-C;   A=B=-C;\]

Одинаковые по модулю компланарные векторы, направлены в одну и ту же сторону, считаются равными друг к другу.

Сила упругости

    \[ \]

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации

    \[\LARGE D=\frac{F}{S} \]

Тут мы использовали :

D — Жесткость

F — Сила, под которой изменилось длина тела

S — Изменение длины тела

Третий закон Ньютона

    \[ \]

Третий закон Ньютона — взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

    \[\Large \vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}\]

Из 3 закона Ньютона можно вывести отношение масс и ускорений тел:

    \[\large \vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}\]

То получаем, что

    \[\large \vec{ma}=-\vec{ma}\]

Из этого равенства можно сделать отношения масс и ускорений разных тел

    \[\large \frac{m_1}{m_2}=\frac{a_1}{a_2}\]

Все эти Силы :
— действуют вдоль одной прямой;
— направлены в противоположные стороны;
— равны по величине;
— приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга;
— одинаковой природы.

На картинке показан как действует третий закон Ньютона. Человек воздействует на груз с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения обратно пропорциональны массам тел.

В формуле мы использовали :

    \[\vec{F_{12}}\]

— Сила действующая на 2 предмет

    \[\vec{F_{21}}\]

— Сила действующая на 1 предмет

m — Масса тела

a — Ускорение тела

Закон Архимеда

    \[ \]

Закон (Сила) Архимеда — На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости или газа.

    \[ \Large F_A=\rho gV\]

В интегральной форме

    \[ \Large F_A=\iint pdS \]

Архимедова сила направлена всегда противоположно силе тяжести, поэтому вес тела в жидкости или газе всегда меньше веса этого тела в вакууме.

Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Что касается тел, которые находятся в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы (Силы Архимеда) нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

В отсутствие гравитационного поля (Сила тяготения), то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление конвекции (естественное перемещение воздуха в пространстве), поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов производятся принудительно, вентиляторами

В формуле мы использовали :

    \[F_A\]

— Сила Архимеда

    \[\rho\]

— Плотность жидкости

V — Объем погруженного тела

g — Ускорение свободного падения

p — Давление в произвольной точке

Закон Дарси

    \[ \]

Закон Дарси — Закон фильтрации Дарси устанавливает линейную зависимость между объемным расходом жидкости или газа и гидравлическим градиентом (уклоном, перепадом давления) в пористых средах, например, в мелкозернистых, песчаных и глинистых грунтах. Дарси закон обычно используют при расчетах режимов разработки нефти и газа.

    \[\LARGE Q=F\upsilon =\frac{kF(p_1-p_2)}{\mu L}\]

В законе Дарси k — Коэффициент фильтрации, характеризует среду и жидкость одновременно(зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости). Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью — водой.

В Формуле мы использовали :

Q — Объемный расход жидкости

F — Площадь поперечного сечения образца или эффективная площадь рассматриваемого объема пористой среды

    \[\upsilon\]

— Скорость фильтрации жидкости или газа

k — Коэффициент проницаемости среды

    \[ p_1,p_2\]

— Разность давлений, созданных на концах испытуемого образца

    \[\mu\]

— Абсолютная вязкость жидкости

L — Длина фильтрующей части породы

Закон Паскаля (Основное уравнение Гидростатики)

    \[ \]

Закон Паскаля — Давление, оказываемое на жидкость (газ) в каком-либо одном месте на ее границе, например, поршнем, передается без изменения во все точки жидкости (газа).

    \[\Large P=P_0+\rho g(z_0-z)\]

Но обычно используется так:

    \[\Large P=P_0+\rho gh\]

Немного поговорим о Законе Паскаля:

На каждую частицу жидкости, находящейся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. Под действием этой силы каждый слой жидкости давит на расположенные под ним слои. В результате давление внутри жидкости на разных уровнях не будет одинаковым. Следовательно, в жидкостях существует давление, обусловленное ее весом.

Из этого можно сделать вывод: Чем глубже мы будем погружаться под воду, тем сильнее будет действовать на нас давление воды

Давление, обусловленное весом жидкости, называют гидростатическим давлением.

Графически зависимость давления от глубины погружения в жидкость представлена на рисунке

На основе закона Паскаля работают различные гидравлические устройства: тормозные системы, прессы, насосы, помпы и др.
Закон Паскаля неприменим в случае движущейся жидкости (газа), а также в случае, когда жидкость (газ) находится в гравитационном поле; так, известно, что атмосферное и гидростатическое давление уменьшается с высотой.

В Формуле мы использовали :

P — Давление

    \[P_0\]

— Давление внешней среды

    \[\rho\]

— Плотность жидкости

h — Глубина, на которую погружено тело (Глубина, где определяется давление)

g=9.8 — Ускорение свободного падения

    \[(z_0-z)=h\]

— Глубина

Тележка массой 1 кг движется со скоростью 8 м/с

Тележка массой 1 кг движется со скоростью 8 м/с навстречу тележке массой 2 кг, движущейся со скоростью 3,5 м/с.
После столкновения тележки соединяются и продолжают движение как единое целое. Какова скорость этого движения?

Решение:
Четверный закон Ньютона:
m1 * v1 + m2 * v2= v * (m1 + m2)
v= (m1 * v1 + m2 * v2) / (m1 + m2)

V = (1 * 8 + 2 * 3.5) / (1 + 2) = 5 м/с

Основные формулы по физике: механика, гидростатика, МКТ, колебания и волны, электричество и магнетизм

Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механикатермодинамика и молекулярная физикаэлектричество. Итак, 100 формул по физике!
Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика
Формулы кинематики, прямолинейное и равномерное движение:

Формулы, кинематика
 

Формулы кинематики криволинейного движения (движение по окружности), динамики:

Формулы, динамика
 

Условия равновесия тел и жидкостей, статика и гидростатика:

 

Формулы по теме «Работа и энергия»:

Формулы, работа и энергия
Формулы по теме “Колебания и волны”:
Формулы, колебания и волны

Основные формулы молекулярной физики и термодинамики

Формулы молекулярной физики и термодинамики:

Формулы, МКТ
Формулы, термодинамика

Основные формулы по физике: электричество

Формулы электростатики:

Формулы, электростатика
 

Формулы постоянный и переменный ток:

Формулы, постоянный ток
 
Формулы закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.
Формулы, переменный ток, ЭДС

На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. Удачи на экзамене!

Первый закон Кеплера

    \[ \]

Первый закон Кеплера — Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

    \[ \LARGE  r=a\frac{1-e^2}{1+ecos\theta } \]

    \[ \LARGE  e=\frac{c}{a} \]

Кеплер предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил, что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля.

Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута___(е = 0,2485).

Так же есть:

Второй закон Кеплера :

    \[ \LARGE  r^2=\frac{d\theta }{dt}=2\pi a^2\frac{\sqrt{1-e^2}}{P} \]

Тут мы использовали :

r — Расстояние от планеты до Солнца

a — Расстояние от центра эллипса до края по большему радиусу

c — Расстояние от центра эллипса до солнца

    \[ \theta \]

— Угол на который повернута планета

P — Период обращения планеты вокруг солнца

Первая космическая скорость

    \[ \]

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

    \[\LARGE  \upsilon _1=\sqrt{\frac{GM_3}{R+h}} \]

Полезная информация о первой космической скорости :

Если в момент выхода на орбиту космический аппарат имеет скорость равную Первой космической скорости, перпендикулярно направлению на центр Земли, то его орбита (при отсутствии еще каких нибудь сил) будет круговой. При скорости аппарата равной, меньше чем Первая космическая скорость, то его орбита имеет форму эллипса, причём точка выхода на орбиту расположена в апогее. Если эта точка находится на высоте около 160 км, то сразу же после момента выхода на орбиту спутник попадает в лежащие ниже плотные слои атмосферы и сгорает. То есть, для указанной высоты первая Космические скорости является минимальной для того, чтобы космический аппарат стал спутником Земли. На больших высотах космический аппарат может стать спутником и при скорости, несколько меньших Первой Космической скорости, вычисленной для этой высоты. Так, на высоте 300 км космическому аппарату для этого достаточно иметь скорость на 45 м/сек меньшую, чем Первая Космическая скорость

Так же есть:

Вторая космическая скорость :

    \[ \large  \upsilon _2=\sqrt{2 \frac{GM_3}{R+h}} \]

В формуле мы использовали :

    \[ \upsilon _1 \]

— Первая космическая скорость

    \[ G = 6,67420^{-11}\]

— Гравитационная постоянная

    \[ M_3 = 5.970^{24} \]

— Масса Земли

    \[ R = 6.370^6 \]

— Радиус Земли

h — Высота тела над поверхностью Земли

Относительное удлинение

    \[ \]

Относительное удлинение — показывает на сколько процентов изменилось тело

    \[ \Large \varepsilon =\frac{\Delta l}{l_0} \]

[Метр]

Относительное удлинение

Относительное удлинение показывает какую часть от первоначальной длины составляет абсолютное удлинение. Часто измеряется в процентах, для этого просто надо умножить на 100%.

Относительного удлинению необходимо. С помощью него определяется, сможет ли материал при изменении своей длины разрушиться. Например: если взять металлическую трубку 10 метров и растянуть ее на 1метр, то она может разрушиться, но растянуть резиновую 100 метровую нить на 1 метр такого же сечения как и труба , то с ней ничего не произойдет. Относительное значение в первом случае будет

    \[1/10*100%=10% \]

, а во втором

    \[1/10000*100%=0,01%\]

В Формуле мы использовали :

    \[ \varepsilon \]

— Относительное удлинение тела

    \[ \Delta l \]

— Абсолютное удлинение тела

    \[ l_0 \]

— Длина тела, после приложения на него силы

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — Чтобы увеличить расстояние тела от центра Земли (поднять тело), над ним следует совершить работу. Эта работа против силы тяжести запасается в виде потенциальной энергии тела.

    \[ \LARGE W_p=mgh \]

Для того, чтоб понять что же такое потенциальная энергия тела найдем работу, совершаемую силой тяжести

    \[ \vec F_T \]

при перемещении тела массой m вертикально вниз с высоты

    \[ h_1 \]

над поверхностью Земли до высоты

    \[ h_2 \]

.

Если разность

    \[ h_1 - h_2 \]

пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяготения

    \[ \vec F_T \]

во время движения тела можно считать постоянной и равной mg.

Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести то получается, что

    \[ cos\alpha=1 \]

, работа силы тяжести равна

    \[ \large A=F_TScos\alpha=F_TS=mg(h_1-h_2)=mgh_1-mgh_2 \]

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины

    \[ mgh \]

. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина

    \[ mgh \]

представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают Wp. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

    \[ \large W_p=mgh \]

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

    \[ \large A=-(mgh_1-mgh_2)= -(W_{p1}-W_{p2})=-\Delta W_p \]

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях

Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, то есть высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы тела на Модуль ускорения свободного падения и расстояние его от поверхности Земли:

    \[ \large W_p=mgh \]

Из всего выше сказанного, можем сделать вывод: потенциальная энергия тела зависит всего от двух величин, а именно: от массы самого тела и высоты, на которую поднято это тело. Траектория движения тела никак не влияет на потенциальную энергию.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:

    \[ \large W_p=\frac{kx^2}{2} \]

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

    \[ \large A=-(\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2})= -(W_{p1}-W_{p2})=-\Delta W_p \]

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.

Так же есть:

Кинетическая энергия

    \[ \Large W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2} \]

В формуле мы использовали :

    \[ W_p \]

— Потенциальная энергия

m — Масса тела

    \[ g  = 9.8 \left[m/s^2 \right] \]

— Ускорение свободного падения

    \[ h \]

— Высота на которую поднято тело

A — Работа силы тяжести

    \[ F_T \]

— Сила тяжести

    \[ S=h \]

— Перемещение тела

k — Жесткость пружины

x — Деформация пружины

    \[ \alpha \]

— Угол между направлением тела и силой тяжести

Третий закон Ньютона

    \[ \]

Третий закон Ньютона — взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

    \[ \Large \vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}} \]

Третий закон Ньютона

Из 3 закона Ньютона можно вывести отношение масс и ускорений тел:

    \[ \large \vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}} \]

То получаем, что

    \[ \large \vec{ma}=-\vec{ma} \]

Из этого равенства можно сделать отношения масс и ускорений разных тел

    \[ \large \frac{m_1}{m_2}=\frac{a_1}{a_2} \]

Все эти Силы :

— действуют вдоль одной прямой;
— направлены в противоположные стороны;
— равны по величине;
— приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга;
— одинаковой природы.

На картинке показан как действует третий закон Ньютона. Человек воздействует на груз с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения обратно пропорциональны массам тел.

Третий закон Ньютона силы

В формуле мы использовали :

    \[ \vec{F_{12}} \]

— Сила действующая на 2 предмет

    \[ \vec{F_{21}} \]

— Сила действующая на 1 предмет

m — Масса тела

a — Ускорение тела

Угол вектора мгновенной скорости

Угол вектора мгновенной скорости

    \[ \LARGE tg\alpha =\frac{gt}{\upsilon _0} \]

Тут мы использовали :

    \[ \alpha \]

— Угол вектора мгновенной скорости

    \[ g = 9.8 \left[m/s^2 \right] \]

— Скорость свободного падения

t — Время движения тела

    \[ \upsilon _0 \]

— Начальная скорость тела

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту

    \[ \LARGE \begin{cases} x=\upsilon _0 t cos\alpha \\ y=\upsilon _0 t sin\alpha -\frac{gt^2}{2} & \end{cases} \]

Решив систему мы получим

    \[ \LARGE y=xtg\alpha - \frac{gx^2}{2\upsilon ^2cos\alpha ^2} \]


Тут мы использовали :

x,y — Координаты положения тела

    \[\upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

t — Время движения тела

    \[\alpha\]

— Угол под которым было брошено тело

    \[g = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Скорость свободного падения

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения— ускорение, сообщаемое свободной материальной точке силой тяжести, поднятой на небольшое расстояние над Землей.

    \[\Large g=G\frac{M_3}{(R+h)^2}=9,822 \]

Если применить эту формулу для вычисления гравитационного ускорения на поверхности Земли, то мы получим:

    \[\Large g=6,67420^{-11}\cdot \frac{5.970^{24}}{6.370^6} =9,822 \]

В условиях Земли падение тел считается условно свободным, т.к. при падении тела в воздушной среде всегда возникает еще и сила сопротивления воздуха.

Идеальное свободное падение возможно лишь в вакууме, где нет силы сопротивления воздуха, и независимо от массы, плотности и формы все тела падают одинаково быстро, т. е. в любой момент времени тела имеют одинаковые мгновенные скорости и ускорения.

Наблюдать идеальное свободное падение тел можно в трубке Ньютона, если с помощью насоса выкачать из неё воздух.

Определение Ускорения свободного падения (Трубка Ньютона)

Вблизи поверхности Земли величина силы тяжести считается постоянной, поэтому свободное падение тела — это движение тела под действием постоянной силы. Следовательно, свободное падение — это равноускоренное движение.

Экспериментально установлено, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела, но зависит от географической широты q местности и высоты h подъема над земной поверхностью. При этом зависимость g от q двоякая.

Во-первых, Земля — не шар, а эллипсоид вращения, то есть радиус Земли на полюсе меньше радиуса Земли на экваторе. Поэтому сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе (

    \[g=9,832  [m/s^2] \]

на полюсе и

    \[g = 9,780  [m/s^2] \]

на экваторе).

Во-вторых, Земля вращается вокруг своей оси и это влияет на ускорение свободного падения, приводя к его зависимости от географической широты местности

В формуле мы использовали :

g = 9.8 — Ускорение свободного падения на поверхности Земли

    \[G = 6,67420^{-11} \]

— Гравитационная постоянная

    \[M_3 = 5.970^{24}\]

— Масса Земли

    \[R = 6.370^6\]

— Радиус Земли

h — Высота тела над поверхностью Земли

Сила трения качения

Сила трения качения — сила сопротивлению движения, возникающее при перекатывании тел друг по другу

    \[\LARGE  F_{tr}=N\frac{f}{R} \]

Происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело все время как бы вкатывается на горку. Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем тверже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.

Сила трения качения формула

В формуле мы использовали :

    \[F_{tr}\]

— Сила трения качения

f — Коэффициент трения качения

R — Радиус тела

N — Прижимающая сила

Сила трения скольжения

Сила трения скольжения — сила, возникающая между соприкасающимися телами при их относительном движении

    \[\Large F_{Тр}=\mu N \]

Сила трения скольжения

Вектор силы трения скольжения всегда направлен противоположно вектору скорости движения тела относительно соприкасающегося с ним тела. Поэтому действие силы трения скольжения всегда приводит к уменьшению модуля относительной скорости тел.

Если проделать некоторые опыты с бруском и динамометром можно придти к выводу, что сила трения скольжения зависит от силы давления тел друг на друга (силы реакции опоры), от материалов трущихся поверхностей, от скорости относительного движения и не зависит от площади соприкосновения. Это можно объяснить тем, что увеличивая площадь соприкосновения, мы уменьшаем удельное давление тел друг на друга.

Величина, характеризующая трущиеся поверхности, называется коэффициентом трения, и обозначается чаще всего латинской буквой μ. Обычно коэффициент трения меньше единицы. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от качества обработки поверхностей. При скольжении сила трения направлена по касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную относительной скорости

В формуле мы использовали :

    \[F_{Тр}\]

— Сила трения скольжения

    \[\mu\]

— Коэффициент трения скольжения

N = mg — Сила нормальной реакции опоры

m — Масса тела

    \[g  = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Ускорение свободного падения

Масса тела

Масса тела — показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями

    \[\Large m=V\rho =\frac{F_т}{g}=\frac{Q}{q}=\frac{Q}{\lambda }=\frac{Q}{L}\]

В Формуле мы использовали :

m — Масса тела

V — Объем тела

    \[\rho\]

— Плотность тела

F_т — Сила тяжести

g=9.8 — Ускорение свободного падения

Q — Количество теплоты

q — Удельная теплота сгорания

L — Удельная теплота парообразования

    \[\lambda\]

— Удельная теплота плавления

Модуль Упругости

Модуль Упругости — коэффициент, характеризующий сопротивление материала растяжению или сжатию при упругой деформации

    \[\LARGE E=\frac{Fl}{xS} =\frac{\sigma _p}{\varepsilon } \]

С помощью легких преобразований, данная формула получается из Закона Гука.

Модуль Упругости , или модуль продольной деформации Е показывает критическое напряжение, которое может иметь структура материала при максимальной ее деформации до разрушения.

Таблица значений Модуля Юнга (Модуля Упругости) для некоторых материалов

Модуль Юнга Модуль Упругости

Физический смысл Модуля Юнга : он показывает напряжение, которое необходимо приложить к телу, чтобы удлинить его в два раза

В формуле мы использовали :

E — Модуль упругости (Модуль Юнга)

    \[\sigma _p\]

— Критическое напряжение

    \[\varepsilon\]

— Относительное удлинение

F — Сила, действующая на стержень

l — Длина деформируемого стержня

x — Модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации

S — Площадь поверхности, по которой распределено действие силы

Формула определения мощности

Мощность — выражается как отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к промежутку времени

    \[\LARGE N=\frac{ A}{ t} \]

Из формулы следует, что в системе СИ единицей мощности является 1 Дж/с (джоуль в секунду). Эту единицу иначе называют ватт (Вт), 1 Вт= 1 Дж/с.

Мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени

Если на движущееся тело действует сила, то эта сила совершает работу. Мощность в этом случае равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется тело:

    \[\Large N=F\upsilon cos\alpha\]

Формула показывает связь между мощностью и скоростью при равномерном движении. Так же формула справедлива и для переменного движения, если под N понимать мгновенную мощность, а под V — мгновенную скорость). Если направление силы совпадает с направлением перемещения, то cos\alpha =1 и N=Fv.Тогда следует, что

    \[F=\frac{N}{\upsilon }\]

    \[\upsilon =\frac{N}{F}\]

Из этих формул видно, что при постоянной мощности двигателя скорость движения обратно пропорциональна силе тяги и наоборот. На этом основан принцип действия коробки скоростей (коробки перемены передач) различных транспортных средств.

В формуле мы использовали :

N — Мощность

A — Выполненная работа

t — Время, за которое выполнялась работа

F — Сила, приложенная к телу

    \[\upsilon\]

— Скорость тела

    \[\alpha\]

— Угол между силой и скоростью

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона (Закон инерции) — если на тело не действует внешняя сила, то тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Первый закон Ньютона (Закон инерции) — материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

Системы отсчета, в которых выполняется Первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета. Все системы отсчета, движущиеся прямолинейно и равномерно относительно данной инерциальной системы отсчета, тоже являются инерциальными.

Первый закон Ньютона

Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния.

Сила тяжести

Сила тяжести — сила F, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности.

    \[ \LARGE  F=G\frac{M_3m}{(R+h)^2}  \]

В формуле мы использовали :

F — Сила тяжести (сила, с которой притягивается тело к Земле)

    \[G = 6,67420^{-11}\]

— Гравитационная постоянная

    \[M_3 = 5.970^{24}\]

— Масса Земли

    \[R = 6.370^6\]

— Радиус Земли

m — Масса тела

h — Высота тела над поверхностью Земли

Частота колебаний

Частота колебаний — величина, обратная периоду колебаний, т. е. равная числу периодов колебаний (числу колебаний), совершаемых в единицу времени.

Разновидность частот колебаний :

Циклическая частота:

Частота колебаний физического маятника:

Частота пружинного маятника:

Частота математического маятника:

Частота электромагнитных колебаний:

Частота колебаний крутильного маятника:


В Формуле мы использовали :

— Частота колебаний

— Циклическая частота

T — Период колебаний маятника

m — Масса груза, или масса маятника

k — Жесткость пружины

L — Длина подвеса

g = 9,8 — Ускорение свободного падения

J — Момент инерции маятника относительно оси вращения

l — Расстояние от оси вращения до центра масс

I — Момент инерции тела

K — Вращательный коэффициент жёсткости маятника

Угловая скорость

Углова́я ско́рость — величина, характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения.
Формула определения угловой скорости:

w = 2 *pi * n

Где:
w — Угловая скорость;
pi — число “пи” = 3,14;
n — Число оборотов в секунду;

Число оборотов

Формула определения числа оборотов:

n = 1 / T

Где:
n – число оборотов (об./сек или об./мин.)
T – период или время одного оборота (сек./об. или мин./об.)