Закон Ома в дифференциальной форме

    \[ \]

Закон Ома в дифференциальной форме — физический закон, определяющий связь между Электродвижущей силой источника или напряжением с силой тока и сопротивлением проводника.

    \[ \Large j=\sigma E \]

Закон ома в дифференциальной форме

Вывод формулы Закона Ома в дифференциальной форме

Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

    \[ \large a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}\]

К концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

    \[ \large \upsilon _{max}=at=\frac{eE}{m}t \]

Тут t — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости. В этом приближении

    \[t=\frac{\overrightarrow{\lambda} }{\overrightarrow{\upsilon} }\]

    \[ \large \upsilon _{max}=\frac{eE\overline{\lambda}}{m\overline{\upsilon}}\]

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

    \[\large\overline{\upsilon}=\frac{1}{2}\overline{\upsilon}=\frac{eE\overline{\lambda}}{2m\overline{\upsilon}}\]

Полученную формулу подставим в

    \[\large j=ne\overline{\upsilon} \]

И у нас получилось

    \[\large j=\frac{ne^2\overline{\lambda}}{2m\overline{\upsilon}}E =\sigma E\]

В Формуле мы использовали :

j — Вектор плотности тока

    \[ \sigma \]

— Удельная проводимость

E — Вектор напряжённости электрического поля

    \[\overline{\lambda}\]

— среднее значение длины свободного пробега

    \[ \overline{\upsilon}\]

— скорость теплового движения электронов