Уравнения электромагнитной волны

    \[ \]

Электромагнитными волнами называют распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле.
Электромагнитные волны являются поперечными: векторы

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, и лежат в плоскости перпендикулярной вектору

    \[\overline{v}\]

скорости распространения волны. Векторы

    \[\overline{v},\ \overline{E} и \overline{H}\]

образуют правовинтовую систему.

Уравнения электромагнитной волны
Связь между векторами

    \[\overline{E} и \[\overline{H}\]

в электромагнитной волне, распространяющейся в непроводящей среде, определяется уравнениями Максвелла, в которых

    \[\rho (плотность заряда)\]

и

    \[\overline{j}\]

(вектор плотности тока) полагают равными нулю:

    \[ \[rot\overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t},\ div\overline{D}=0\]

    \[ \[rot\overline{H}=\frac{\partial \overline{D}}{\partial t},\ div\overline{B}=0\ \qquad (1)\]

где

    \[\overline{E}\]

-напряженность электрического поля,

    \[\overline{B}\]

-вектор магнитной индукции,

    \[\overline{H}\]

-вектор магнитной напряженности,

    \[\overline{D}\]

— вектор электрического смещения.

Таким образом, система уравнений (1) есть уравнения электромагнитной волны в непроводящей среде.

В случае однородной, изотропной, непроводящей среды, не обладающей ферромагнитными или сегнетоэлектрическими свойствами уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:

    \[\overline{D}=\varepsilon {\varepsilon}_0\overline{E},\ \overline{B}=\mu {\mu}_0\overline{H}\]

    \[rot\overline{E}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial \overline{H}}{\partial t},\ div\overline{E}=0\]

    \[rot\overline{H}=\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial \overline{E}}{\partial t},\ div\overline{H}=0\ \qquad (2)\]

где

    \[ {\varepsilon}_0,\ {\mu}_0 \]

– электрическая и магнитная постоянные,

    \[\varepsilon, \mu\]

– относительные электрическая и магнитная проницаемость среды.

Векторы

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

поля электромагнитной волны можно выразить через скалярный

    \[\varphi\]

и векторный

    \[\overline{A}\]

потенциалы. Тогда уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:

    \[\overline{E}=-\frac{\partial \overline{A}}{\partial t}-grad\varphi ,\ \overline{H}=\frac{1}{\mu {\mu}_0}rot\overline{A}\]

    \[\Delta \varphi =\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2},\ \Delta \overline{A}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{A}}{\partial t^2}\]

    \[\Delta \overline{E}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{E}}{\partial t^2},\ \Delta \overline{H}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{H}}{\partial t^2}, \qquad (3)\]

где

    \[\Delta\]

— оператор Лапласа,

    \[ c=\frac{1}{\sqrt{{\varepsilon}_0{\mu}_0}}=3\cdot {10}^8\frac{m}{c},\ div\ \overline{A}=0\]

.

Каждая из проекций векторов

    \[\overline{A},\ \overline{E},\ \overline{H}\]

на оси прямоугольной декартовой системы координат и

    \[\varphi\]

удовлетворяют волновому уравнению(4):

    \[\Delta S_i=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial}^2s_i}{\partial t^2}\ \left(i=1,2,\dots ,10\right),\ \qquad (4)\]

где

    \[v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}}\]

– фазовая скорость электромагнитной волны,

    \[s_1=\varphi,\ s_2=A_x,\ s_3=A_y,\ \dots ,\ s_{10}=H_z\]

. В вакууме

    \[(\varepsilon = \mu =1).\ v=c\]

. Для всех сред кроме ферромагнитных,

    \[\mu \approx 1 и v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}\]

.

Определение и уравнение плоской электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитную волну называют плоской, если векторы

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

зависят только от времени и одной декартовой координаты.
Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox правовинтовой системы координат, уравнения электромагнитной волны запишутся в следующем виде:

    \[E_x=H_x=0\]

    \[\frac{\partial E_y}{\partial x}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial H_z}{\partial t},\ \frac{\partial E_z}{\partial x}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial H_y}{\partial t}\]

    \[\frac{\partial H_y}{\partial x}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial E_z}{\partial t},\ \frac{\partial H_z}{\partial x}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\]

    \[H_z=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0}{\mu {\mu}_0}}E_y,\ H_y=-\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0}{\mu {\mu}_0}}E_z\]

    \[\overline{E}=\sqrt{\frac{\mu {\mu}_0}{\varepsilon {\varepsilon}_0}}\ \overline{H}\cdot \overline{n}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}} rot \overline{A} \times \overline{n},\qquad (5)\ \]

где

    \[\overline{n}\]

– единичный вектор, проведенный в направлении распространении волны. Мы видим, что плоская электромагнитная волна может быть полностью определена с помощью одного лишь векторного потенциала

    \[\overline{A}\]

. В вакууме:

    \[H_y=-\sqrt{\frac{{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_z,\ H_z=\sqrt{\frac{{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_y\ \qquad (6)\]

    \[\sqrt{{\varepsilon}_0}E=\sqrt{{\mu}_0}\ H\ \qquad (7)\]

Определение и уравнение монохроматической электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитную волну называют монохроматической, если компоненты векторов

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

электромагнитного поля волны совершают гармонические колебания одинаковой частоты, называемой частотой волны. Произвольная немонохроматическая волна может быть представлена в виде совокупности монохроматических волн.
Напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны часто представляют в виде:

    \[\overline{E}=\overline{E_0}{ \cos \left(\overline{k}\overline{r}-wt\right)},\ \overline{H}=\overline{H_0}\cdot { \cos \left(\overline{k}\overline{r}-wt\right)} \qquad (8)\]

где k=w/v – волновое число.

Очевидно, что и комплексные функции эквивалентны выражению (8)

    \[\overline{E}\left(r,t\right)=\overline{E_0}{\exp \left(i\overline{k}\overline{r}-iwt\right)},\ \overline{H}\left(r,t\right)=\overline{H_0}{exp \left(i\overline{k}\overline{r}-iwt\right)} \qquad (9)\]

Здесь \overline{k}\] — волновой вектор, а его модуль равен величине

    \[k = \omega /r\]

.

Электрическое и магнитное поля плоской волны направлены перпендикулярно друг-другу.