Время подъема на максимальную высоту, тела, брошенного под углом к горизонту

    \[ \]

Время подъема на максимальную высоту, тела, брошенного под углом к горизонту — Время подъема на максимальную высоту определяется из условия, что вертикальная составляющая мгновенной скорости равна нулю.

    \[\LARGE t_{max}=\frac{\upsilon _0 sin\alpha }{g}\]

Тут мы использовали :

    \[ t_{max}\]

— Время подъема на максимальную высоту

    \[ \upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

    \[\alpha\]

— Угол под которым было брошено тело

    \[ g = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Скорость свободного падения

Максимальная высота подъема тела

    \[ \]

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту.

    \[\LARGE H_{max}=\frac{(\upsilon _0sin\alpha )^2}{2g}\]

Тут мы использовали :

    \[H_{max}\]

— Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

    \[ \upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

    \[\alpha\]

— Угол под котором было брошено тело

    \[g = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Скорость свободного падения

Перемещения при равномерном поступательном движении формула

    \[ \]

Перемещения при равномерном поступательном движении — есть ничто иное, как произведение скорости \upsilon на время t

    \[  \Large S=\upsilon*t\]

Так же, перемещение равно площади заштрихованной фигуры

Тут мы использовали :

    \[  \upsilon\]

— Скорость равномерного поступательного движения

S — Расстояние пройденное телом

t — Время, которое двигалось тело

Период колебаний маятника

    \[ \]

Период колебаний маятника — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание

    \[\large T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}\]

Период пружинного маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Период математического маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

Период физического маятника

    \[ T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}\]

Период крутильного маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}\]

Период колебаний маятника

В Формуле мы использовали :

T — Период колебаний маятника

m — Масса груза, или масса маятника

k — Жесткость пружины

L — Длина подвеса

g = 9,8 — Ускорение свободного падения

J — Момент инерции маятника относительно оси вращения

l — Расстояние от оси вращения до центра масс

I — Момент инерции тела

K — Вращательный коэффициент жёсткости маятника

Период обращения

    \[ \]

Период обращения — Время, за которое тело совершает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2 пи, называется периодом обращения

    \[\LARGE T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{1}{n }\]

Сидерические периоды обращения планет Солнечной системы:

Период обращения (меркурий, венера, солнце, земля)

Найдем период обращения:

Если, например, за время t = 4 с тело, двигаясь по окружности, совершило n = 2 оборота, то легко сообразить, что один оборот длился 2 с. Это и есть период обращения. Обозначается он буквой Т и определяется по формуле

    \[\Large T=\frac{1}{n }\]

Найдем частоту обращения:

Если, например, за время t = 4 с тело совершило n = 20 оборотов,то за 1 с оно успевало совершить 5 оборотов. Это число и выражает частоту обращения. Обозначается она греческой буквой V (читается: ню) и определяется по формуле:

    \[\Large \omega =\frac{n}{T}\]

За единицу частоты обращения в СИ принимают частоту обращения, при которой за каждую секунду тело совершает один оборот. Эта единица обозначается так: 1/с или с-1 (читается: секунда в минус первой степени).

В формуле мы использовали :

T — Период обращения

    \[ \omega\]

— Частота обращения

n — Число оборотов

Прямолинейное равномерное движение

    \[ \]

Прямолинейное равномерное движение — это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени, тело проходит одинаковое расстояние.

Равномерное движение — это такое движение тела, при котором его скорость остается постоянной (v=const ),то есть все время движется с одной скоростью, а ускорение или замедление не происходит (a=0).

Прямолинейное движение — это движение тела по прямой линии, то есть траектория у нас получается — прямая.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор скорости совпадает с вектором перемещения. При всем этом средняя скорость в любой промежуток времени равна начальной и мгновенной скорости:

    \[\Large v_{cp}=v\]

Скорость равномерного прямолинейного движения — это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела \vec S за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:

    \[\Large \vec v  =\frac{\vec S}{t}\]

Из данной формулы. мы легко можем выразить перемещение тела при равномерном движении:

    \[\Large \vec S  =\vec v \cdot  t\]

Рассмотрим зависимость скорости и перемещения от времени

Так как тело у нас движется прямолинейно и равноускоренно (v=const ), то график с зависимостью скорости от времени будет выгладить, как параллельная прямая оси времени.

Зависимость скорости от времени

В зависимости проекции скорости тела от времени ничего сложного нет. Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Проекция скорости от времени

На графике мы видим зависимость перемещения от времени.

Перемещение от времени

Из графика видно, что проекция скорости равна:

    \[\Large v  =\frac{S_1}{t_1}= tg\alpha\]

Рассмотрев эту формулу. мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется наше тело и оно проходит больший путь за меньшее время

В Формуле мы использовали :

    \[v_{cp}\]

-Средняя скорость равномерного прямолинейного движения

v — Скорость равномерного прямолинейного движения

S — Перемещение тела (расстояние, на которое передвинулось тело)

t — Промежуток времени перемещения (время)

    \[\alpha\]

— Угол наклона графика к оси времени

Скорость брошенного тела под углом к горизонту

    \[ \]

Скорость тела под углом к горизонту

    \[\LARGE \upsilon _x=\upsilon _0cos\alpha\]

    \[\LARGE \upsilon _y=\upsilon _0sin\alpha - gt \]

Тут мы использовали :

    \[\upsilon _x\]

— Скорость тела брошенного под углом к горизонту

    \[\upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

    \[ \alpha \]

— Угол под которым было брошено тело

g — Ускорение свободного падения

Скорость при равноускоренном движении по прямой

    \[ \]

Скорость при равноускоренном движении по прямой — это начальная скорость тела плюс ускорение данного тела умноженное на время в пути

    \[\LARGE \upsilon _x=\upsilon _{x0}+a_xt\]

Тут мы использовали :

    \[\upsilon _x\]

— Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

    \[\upsilon _{x0}\]

— Начальная скорость тела

    \[a_x\]

— Ускорение тела

t — Время движения тела

Скорость равномерного поступательного движения

    \[ \]

Скорость равномерного поступательного — Есть ничто иное, как отношение перемещения S к затраченному времени t

    \[ \Large \upsilon=\frac{S}{t}\]

Тут мы использовали :

    \[  \upsilon \]

— Скорость равномерного поступательного движения

S — Расстояние пройденное телом

t — Время, которое двигалось тело

Сложение скоростей

    \[ \]

Сложение скоростей — с помощью данного закона определяется скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта. Она равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы

    \[\Large \vec \nu  =\vec u+ \vec v\]

Для того, чтоб было более понятно, как работает закон сложения скоростей, рассмотрим такой пример. Вагон движется со скоростью 50 км\ч (это будет

    \[\vec u \]

), в вагоне идет человек со скоростью 3 км\ч (это будет

    \[\vec v\]

), найти скорость человека относительно Земли.

Сложение скоростей

У данной задачи будет два решения. Если человек будет идти по направлению движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 53 км\ч.

    \[\Large \nu  = u+v = 50+3=53\]

А если человек будет идти против движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 47 км\ч.

    \[\Large \nu  = u+v = 50-3=47\]

В Формуле мы использовали :

    \[\nu\]

— Конечная скорость тела

u, v — Скорость тел в различных инерциальных системах отчета

Средняя скорость тела

    \[ \]

Средняя скорость тела

При равноускоренном движении

    \[\LARGE \upsilon _{sr}=\upsilon _0+\frac{at}{2}\]

При равномерном движении

    \[\LARGE \upsilon _{sr}=\frac{\upsilon _0+\upsilon }{2} \]

Тут мы использовали :

    \[ \upsilon _{sr}\]

— Средняя скорость тела

    \[\upsilon _0\]

— Начальная скорость тела

a — Ускорение тела

t — Время движения тела

    \[\upsilon\]

— Скорость тела через некоторый промежуток времени

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

    \[ \]

Потенциальная энергия упруго деформированного тела — физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации.

    \[\LARGE W_p=\frac{kx^2}{2}\]

Энергию деформированного упругого тела также называют энергией положения или потенциальной энергией (ее называют чаще упругой энергией), так как она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина при перемещении ее конца, зависит только от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к не растянутому состоянию, то есть найдем упругую энергию растянутой пружины.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

    \[\large A=-(\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2})= -(W_{p1}-W_{p2})=-\Delta W_p\]

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.

Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, то есть чем больше коэффициент упругости, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной силе, растянувшей ее. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на путь точки приложения силы.

Так же есть:

Потенциальная энергия :

    \[\large W_p=mgh\]

Кинетическая энергия

    \[\Large W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2} \]

Тут мы использовали :

    \[ W_p\]

— Потенциальная энергия упруго деформированного тела

k — Коэффициент упругости пружины

x — Деформация пружины

Работа силы упругости

    \[ \]

Работа силы упругости — работа, совершаемая силой упругости при изменении деформации пружины от некоторого начального значения x1 до конечного значения x2

    \[\LARGE A=-(\frac{kx_2^2}{2}-\frac{kx_1^2}{2}) \]

Вывод формулы работы силы упругости ( через интеграл )

Работа силы упругости в интегральной форме

Коэффициент жесткости пружины k называет­ся жесткостью тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено, а также от его геоме­трических размеров и формы. Жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м). Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Работа силы упругости не зависит от формы траек­тории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости является потенциальными силами.

В формуле мы использовали :

A — Работа силы упругости

k — Коэффициент упругости пружины

x — Деформация пружины

Закон сохранения импульса

    \[ \]

Закон сохранения импульса — Векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия

    \[\Large m_1\upsilon_1+m_2\upsilon _2=m_1\upsilon _1^l +m_2\upsilon _2^l\]

    \[\Large p_1+p_2=p_1^l +p_2^l\]

Докажем закон сохранения импульса.

Возьмем и обозначим массы двух тел

    \[m_1\]

и

    \[m_2\]

и скорости до взаимодействия

    \[\vec\upsilon_1\]

и \

    \[vec\upsilon _2\]

, а после взаимодействия (столкновения)

    \[\vec\upsilon_1^l\]

и

    \[\vec\upsilon _2^l\]

По третьему закон Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить

    \[\vec F_1\]

и

    \[-\vec F _2\]

Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании Импульса силы можно записать так

Для первого тела:

    \[ \large \vec Ft=m_1\vec\upsilon_1^l-m_1\vec\upsilon_1 \]

Для второго тела:

    \[\large -\vec Ft=m_1\vec\upsilon_2^l-m_1\vec\upsilon_2\]

И тогда у нас получается, что закон сохранения импульсов выглядит так:

    \[\large m_1\upsilon_1+m_2\upsilon _2=m_1\upsilon _1^l+m_2\upsilon _2^l\]

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел — от планет и звезд до атомов и элементарных частиц — показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равны нулю, сумма импульсов тел остается неизменной.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета

В Формуле мы использовали :

t — Время взаимодействия тел

    \[ p_1=m_1\upsilon_1\]

— Импульс 1 тела до взаимодействия

    \[p_2=m_2\upsilon _2\]

— Импульс 2 тела до взаимодействия

    \[ p_1^{l}=m_1\upsilon _1^l\]

— Импульс 1 тела после взаимодействия

    \[ p_2^l=m_2\upsilon _2^l\]

— Импульс 2 тела после взаимодействия

Закон сохранения энергии

    \[ \]

Закон сохранения энергии — один из наиболее важных законов, согласно которому физическая величина — энергия сохраняется в изолированной системе. Этому закону подчиняются все без исключения известные процессы в природе. В изолированной системе энергия может только превращаться из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

    \[ \Large W=W_k+W_p=\frac{m\upsilon ^2}{2}+mgh\]

Для того, чтоб понять что же представляет из себя закон и откуда это получается возьмем тело массой m, которое уроним на Землю. В точке 1 тело у нас находится на высоте h и покоится (скорость равна 0). В точке 2 тело тело имеет некоторую скорость v и находится на расстоянии h-h1. В точке 3 тело имеет максимальную скорость и оно почти лежит на нашей Земле, то есть h=0

Закон сохранения энергии

В точке 1 тело имеет только потенциальную энергию, так как скорость тела равно 0,так что полная механическая энергия равна.

    \[\large W=mgh\]

После того как мы тело отпустили, оно стало падать. При падении потенциальная энергия тела уменьшается, так как уменьшается высота тела над Землей, а его кинетическая энергия увеличивается, так как увеличивается скорость тела. На участке 1-2 равном h1 потенциальная энергия будет равна

    \[\large \Delta W=mgh_1\]

А кинетическая энергия будет равная в тот момент

    \[( \upsilon_2\]

— скорость тела в точке 2):

    \[\large \Delta W=\frac{m\upsilon_2 ^2}{2} \]

Чем ближе тело становится к Земле, тем меньше его потенциальная энергия, но в тот же момент увеличивается скорость тела, а из-за этого и кинетическая энергия. То есть в точке 2 работает закон сохранения энергии: потенциальная энергия уменьшается, кинетическая растет.

В точке 3 (на поверхности Земли) потенциальная энергия равна нулю (так как h = 0), а кинетическая максимальна

    \[W=\frac{m\upsilon_3 ^2}{2}\]

(где v3 — скорость тела в момент падения на Землю). Так как

    \[\upsilon_2^2=2gh\]

, то кинетическая энергия в точке 3 будет равна Wk=mgh. Следовательно, в точке 3 полная энергия тела W3=mgh и равна потенциальной энергии на высоте h. Конечная формула закона сохранения механической энергии будет иметь вид:

    \[\Large W=W_k+W_p=\frac{m\upsilon ^2}{2}+mgh \]

Формула выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы: полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию и обратно.

В Формуле мы использовали :

W — Полная энергия тела

    \[W_p\]

— Потенциальная энергия тела

    \[W_k\]

— Кинетическая энергия тела

m — Масса тела

g — Ускорение свободного падения

h — Высота на которой находится тело

\upsilon — Скорость тела

Импульс силы

    \[ \]

Импульс силы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени.

    \[\Large p=Ft=m\upsilon-m\upsilon_0\]

Векторную величину Ft, равную произведению силы на время ее действия, называют импульсом силы. Векторную величину р=mv, равную произведению массы тела на его скорость, называют импульсом тела.

Формула для нахождения импульса тела вытекает из всем извесного Второго закона Ньютона

    \[\Large F=ma \]

А ускорение найдем через разность скоростей на время.

    \[\Large F=m(\frac{\upsilon -\upsilon _0}{t})\]

Отсюда и получается, что импульс силы

    \[\large Ft=m\upsilon-m\upsilon_0\]

Из импульса силы вытекает закон сохранения импульса

    \[\Large m_1\upsilon_1+m_2\upsilon _2=m_1\upsilon _1^'+m_2\upsilon _2^'\]

Так же есть:

Импульс тела

    \[\Large p=m\upsilon\]

В Формуле мы использовали :

p=Ft — Импульс силы

m — Масса тела

F — Сила приложенная к телу

t — Время действия силы

    \[\upsilon\]

— Конечная скорость тела

    \[\upsilon_0\]

— Начальная скорость тела

Импульс тела

    \[ \]

Импульс тела — это физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

    \[\Large p=m\upsilon\]

Каждое тело, которое имеет массу и скорость, так же имеет и импульс.

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени

    \[Δt\]

действовала сила F. Под действием этой силы скорость тела изменилась на

    \[\Delta \upsilon =\vec\upsilon _2-\vec\upsilon _1\]

. Следовательно, тело на промежутке

    \[Δt\]

двигалось с ускорением

    \[\Large \vec a=\frac{\Delta \vec\upsilon }{\Delta t}=\frac{\vec \upsilon _2-\vec\upsilon_1}{\Delta t}\]

На основе Второго закон Ньютона

    \[\Large  \vec F=m \vec a=m\frac{(\vec \upsilon _2-\vec\upsilon _1)}{\Delta t}\]

А если немного преобразовать, то у нас получится:

    \[\Large  \vec F\Delta t=m\vec \upsilon _2-m\vec\upsilon _1=m\Delta \vec\upsilon=\Delta (m\upsilon)\]

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела

    \[m\upsilon\]

. А физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы

    \[F\Delta t\]

.

Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)

В Формуле мы использовали :

p — Импульс тела

m — Масса тела

    \[\upsilon\]

— Скорость тела

Кинетическая энергия

    \[ \]

Кинетическая энергия — скалярная физическая величи­на, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

    \[\LARGE W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2}\]

Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.

Кинетическая-энергия-тела

Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле

    \[A=FScos\alpha\]

. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то

    \[cos\alpha =1\]

, и тогда у нас получается, что работа силы равна

    \[А=Fs\]

. По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:

    \[\large \upsilon _2^2=\upsilon _1^2+2aS\]

Из это формулы мы выражаем перемещение тела:

    \[\large S=\frac{\upsilon _2^2-\upsilon _1^2}{2a}\]

Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:

    \[\large A=\frac{m\upsilon ^2}{2}-\frac{m\upsilon _1^2}{2}\]

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины

    \[\frac{m\upsilon ^2}{2}\]

. А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина

    \[\frac{m\upsilon ^2}{2}\]

представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.

    \[\large W_k=\frac{m\upsilon ^2}{2} \]

Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится

    \[\large A=W_{k2}-W_{k1}=\Delta  W_k\]

Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела

Так же есть :

Потенциальная энергия :

    \[\large W_p=mgh \]

В формуле мы использовали :

    \[W_k\]

— Кинетическая энергия

m — Масса тела

    \[ \upsilon\]

— Скорость движения тела

    \[ \upsilon_1\]

— Начальная скорость тела

    \[ \upsilon_2\]

— Конечная скорость тела

A — Работа тела

a — Ускорение тела

F — Сила, действующая на тело

S — Перемещение тела

Коэффициент мощности

    \[ \]

Коэффициент мощности — безразмерная физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой электрического тока. И определяется как отношение Активной мощности к полной мощности.

    \[\Large cos\varphi =\frac{P}{S}\]

Коэффициент мощности математически можно интерпретировать как косинус угла между векторами тока и напряжения. Поэтому в случае синусоидальных напряжения и тока величина коэффициента мощности совпадает с косинусом угла, на который отстают соответствующие фазы.

При проектировании электросетей необходимо, даже можно сказать крайне важно учитывать коэффициент мощности. Низкий коэффициент мощности ведёт к потерям электроэнергии в электрической сети. Чтобы увеличить коэффициент мощности, используют компенсирующие устройства. Неверно рассчитанный коэффициент мощности может привести к избыточному потреблению электроэнергии и снижению КПД электрооборудования, питающегося от данной сети.

Так же есть :

Реактивная мощность

    \[\large Q=UIsin\varphi\]

Активная мощность тока

    \[\large P=UIcos\varphi\]

Полная мощность тока

    \[\large  S=U*I\]

В Формуле мы использовали :

P — Активная мощность тока

S — Полная мощность тока

Q — Реактивная мощность

    \[\varphi\]

— Угол сдвига фаз

U — Напряжение в цепи

I — Сила тока

Коэффициент трения скольжения

    \[ \]

Коэффициент трения скольжения — отношение силы трения к нормальной составляющей внешних сил, действующих на поверхности тела.

    \[\Large \mu =\frac{F_{Тр}}{N}\]

Коэффициент трения скольжения выводится из формулы силы трения скольжения

    \[\Large F_{Тр}=\mu N\]

Коэффициент трения скольжения

Так как сила реакции опоры, это масса умножить на ускорение свободного падения, то формула коэффициента получается:

    \[\Large \mu =\frac{F_{Тр}}{mg}\]

Ниже приведена таблица коэффициентов трения скольжения для некоторых материалов:

В Формуле мы использовали :

    \[\mu\]

— Коэффициент трения скольжения

    \[ F_{Тр}\]

— Сила трения скольжения

N — Сила нормальной реакции опоры

m — Масса тела

    \[g  = 9.8 \left[m/s^2 \right]\]

— Ускорение свободного падения

Реактивная мощность

    \[ \]

Реактивная мощность — величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока

    \[\Large Q=U*Isin\varphi \]

Реактивная мощность связана с полной мощностью и активной :

    \[\Large \left|Q \right|=\sqrt{S^2-P^2}\]

Зная Активную мощность и Полную мощность определяем Реактивную мощность из прямоугольного треугольника

Если рассмотреть Физически «реактивная мощность» — это, энергия, затрачиваемая на перемагничивание короткозамкнутой обмотки асинхронного двигателя при его работе, то есть ЛЮБОЙ асинхронный двигатель потребляет реактивную мощность из сети независимо от момента на своем валу.

Реактивная мощность может быть как положительной величиной (если нагрузка имеет активно-индуктивный характер), так и отрицательной (если нагрузка имеет активно-ёмкостный характер). Данное обстоятельство подчёркивает тот факт, что реактивная мощность не участвует в работе электрического тока. Отрицательное значение активной мощности нагрузки характеризовало бы нагрузку как генератор энергии. Активное, индуктивное, ёмкостное сопротивление не могут быть источниками постоянной энергии.

Так же есть :

Полная мощность тока

    \[\large  S=U*I\]

Активная мощность тока

    \[\large P=UIcos\varphi\]

В формуле мы использовали :

Q — Реактивная мощность

U — Напряжение в цепи

I — Сила тока

    \[\varphi\]

— Угол сдвига фаз

S — Полная мощность тока

P — Активная мощность тока

Уравнение моментов

    \[ \]

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через

    \[\overline{r}\]

радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы

    \[\overline{F}\]

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом силы

    \[\overline{F}\]

относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора

    \[\overline{r}\]

на силу

    \[\overline{F}\]

:

    \[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F} \qquad \qquad (1)\]

направление

    \[\overline{M}\]

выбирается так, чтобы последовательность векторов

    \[\overline{r},\overline{F},\overline{M} \]

образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора

    \[\overline{M}\]

, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом

    \[\overline{M\ }\]

совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от

    \[ \overline{r}, к \[\overline{F}\]

по наикратчайшему пути.

Моментом

    \[\overline{M\ }\]

нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

    \[ \[\overline{M}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{F_i}} \qquad \qquad (2)\]

Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора

    \[\overline{r}\]

на импульс

    \[\overline{p}\]

:

    \[\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p} \qquad \qquad (3)\]

    \[\overline{L}=J\overline{w} \qquad \qquad (4)\]

где J— момент инерции,

    \[\overline{w}\]

— угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

    \[\overline{L}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{p_i}} \qquad \qquad (5)\]

Производная по времени от момента импульса \overline{L} механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил {\overline{M}}^{vnesh}, действующих на систему:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh} \qquad \qquad (6)\]

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}\]

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

    \[\frac{dL_x}{dt}=M^{vnesh}_x,\ \frac{dL_y}{dt}=M^{vnesh}_y,\ \frac{dL_z}{dt}=M^{vnesh}_z \qquad (7)\]

где

    \[L_x,L_y,L_z\]

— проекции момента импульса на соответствующую ось;

    \[M^{vnesh}_x,M^{vnesh}_y,\ M^{vnesh}_z\]

— проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач

Уравнение теплового баланса

    \[ \]

Если в изолированной системе тел не происходит ни каких превращений энергии кроме теплообмена, то количество теплоты, отданное телами, внутренняя энергия которых уменьшается, равно количеству теплоты, полученному телами, внутренняя энергия которых, увеличивается. При этом суммарная энергия системы не изменяется и тогда первое начало термодинамики записывается в следующем виде:

    \[\triangle U=\sum^n_{i=1}{\triangle U_i=0}\]

Это уравнение называют уравнением теплового баланса.

Или по другому: Суммарное количества теплоты, которое выделяется в теплоизолированной системе равно количеству теплоты (суммарному), которое в этой системе поглощается.

    \[Q_1+Q_2+Q_2+\dots +Q_n=Q'_1+Q'_2+Q'_2+\dots Q'_k\]

По своему смыслу, уравнение теплового баланса – это закон сохранения энергии для процессов теплообмена в термоизолированных системах.

Уравнение фотоэффекта

    \[ \]

Фотоэффектом называют электрические явления, которые происходят при освещении светом вещества, а именно: выход электронов из вещества (фотоэлектронная эмиссия), возникновение ЭДС, изменения электропроводимости.
Фотоэффект является одним из примеров проявления корпускулярных свойств света. Вылет электронов из освещенных тел, называется внешним фотоэффектом.

Сущность внутреннего фотоэффекта состоит в том, что при освещении полупроводников и диэлектриков от некоторых атомов отрываются электроны, которые, однако, в отличие от внешнего фотоэффекта, не выходят через поверхность тела, а остаются внутри него. В результате внутреннего фотоэффекта возникают электроны в зоне проводимости и сопротивление полупроводников и диэлектриков уменьшается.

При освещении границы раздела между полупроводниками с различным типом проводимости возникает электродвижущая сила. Это явление называется вентильным фотоэффектом.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
Основным уравнением, описывающим внешний фотоэффект, является уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

    \[h\nu =A+\frac{mv^2_{max}}{2}\ \qquad \qquad (1)\]

где

    \[h\nu\]

– энергия фотона монохроматической волны света, m — масса электрона, A — работа выхода электрона из фотокатода.

Уравнение фотоэффекта (1) является следствием закона сохранения энергии. В соответствии с законами сохранения энергии и импульса, поглощение фотона свободными электронами невозможно, и фотоэффект возможен только на электронах, связанных в атомах, молекулах и ионах, а также на электронах твердых и жидких тел.

Из уравнения фотоэффекта существует ряд важных выводов, которые характеризуют это явление:

Для данного фотокатода максимальная начальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты падающего света и не зависит от его интенсивности.
При постоянном спектральном составе падающего света число фотоэлектронов, вырываемых светом из фотокатода за единицу времени, и фототок насыщения пропорциональны энергетической освещенности фотокатода.
Для каждого вещества фотокатода существует красная граница фотоэффекта (порог фотоэффекта) – минимальная частота

    \[{\nu }_0=\frac{A}{h}\]

, при которой еще возможен фотоэффект. Длина волны

    \[{\lambda }_0=\frac{ch}{A}\]

, соответствующая частоте

    \[{\nu }_0\]

, для большинства металлов находится в ультрафиолетовой части спектра.

Уравнение Шредингера

    \[ \]

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

    \[  \[W\left(x.y.z\right),\ V(p_x,p_y,p_z)\]

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к. состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных

    \[(х и p_x.)\]

, а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов. Итак, состояние квантовой частицы можно характеризовать волновой функцией (комплексной), в двух представлениях — либо в координатном:

    \[\Psi (x.y.z,t)\]

, либо в импульсном:

    \[Y(p_x,p_y.p_z.t.)\]

. Уравнение движения свободной частицы особенно просто выглядит в импульсном представлении, т.к. импульс свободной частицы сохраняется. Это означает на квантовом языке, что функция

    \[Y(p_x,p_y.p_z.)\]

.не зависит от времени.

Уравнение Шредингера
Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости. И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени. Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

    \[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta \Psi+U(x,y,z,t) \Psi  \qquad (1)\]

где

    \[\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\]

– оператор Лапласа, x.y.z. – координаты,

    \[\hbar\]

— постоянная Планка, деленная на

    \[2\pi\]

.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Если

    \[U\left(x,y,z,\right)\]

не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

    \[ \Psi \left(x,y,z;t\right)=exp\left(-\frac{i}{\hbar }Et\right) \Psi \left(x,y,z\right) \quad \qquad \qquad (2)  \]

где E-полная энергия квантовой системы, а

    \[\Psi \left(x,y,z\right)\]

удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

    \[-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta  \Psi +U(x,y,z) \Psi =E \Psi  \quad \qquad \qquad (3)   \]

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера
С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно. В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл. Можно сказать, в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. События же всегда случайны и совершаются непредсказуемо.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции. Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы. Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингера

    \[\Psi \left(x,y,z;t\right)\]

прямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения

    \[ \left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\cdot  \Psi ^*\left(x,y,z;t\right)\right|={\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2=w\]

,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где

    \[ \Psi ^*\left(x,y,z;t\right) \]

-комплексно сопряженная функция с

    \[\Psi \left(x,y,z;t\right)\]

.

    \[W=\int_V{wdV}=\int_V{{\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2dV} \]

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

    \[ \]

Суть фотоэффекта состоит в способности атомов к ионизации под действием света.
Если атомы подвергнуть облучению светом, то свет будет поглощаться атомами. Естественно допустить, что при определённых условиях поглощение будет столь велико, что внешние (валентные) электроны будут отрываться от атомов. Это явление наблюдается в действительности. Классическая электродинамика, обычная волновая теория света не в состоянии дать удовлетворительное объяснение фотоэффекту. Эйнштейн выдвигает предположение, что свет сам по себе имеет корпускулярную природу, что имеет смысл смотреть на свет не как на поток волн, а как на поток частиц. Свет не только излучается, но и распространяется и поглощается в виде квантов! Эти кванты, или частицы, световой энергии Эйнштейн назвал фотонами.

Фотоны, падая на поверхность металла, проникают на очень короткое расстояние в металл и поглощаются нацело отдельными его электронами проводимости. Они сразу же увеличивают свою энергию до значения, достаточного, чтобы преодолеть потенциальный барьер вблизи поверхности металла, и вылетают наружу.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
Из закона сохранения энергии следует уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, вызываемого монохроматическим светом:

    \[  \[h\nu =A+\frac{mv^2_{max}}{2}\]

где

    \[h\nu\]

– энергия фотона, m — масса электрона, A — работа выхода электрона.

Данное уравнение означает, что энергия фотона после поглощения его, с одной стороны, расходуется на преодоление потенциального барьера (эта часть энергии называется работой выхода электрона из металла), а с другой стороны, частично сохраняется у электрона вне металла в виде кинетической энергии. Это соотношение подтверждает тот факт, что энергия фотоэлектронов, действительно, никак не зависит от интенсивности света, а линейно зависит от частоты света. Уравнение Эйнштейна позволяет измерить постоянную Планка h.

Из уравнения Эйнштейна следует существование красной границы фотоэффекта.

При достаточно низкой частоте света фотоэффект не наблюдается: энергии фотона не хватает на преодоление потенциального барьера. Та критическая частота, при которой прекращается фотоэффект, называется красной границей фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта определяется работой выхода:

    \[  \[h{\nu }_{kr}=A\]

У различных металлов красная граница фотоэффекта различна

Уравнения электромагнитной волны

    \[ \]

Электромагнитными волнами называют распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле.
Электромагнитные волны являются поперечными: векторы

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, и лежат в плоскости перпендикулярной вектору

    \[\overline{v}\]

скорости распространения волны. Векторы

    \[\overline{v},\ \overline{E} и \overline{H}\]

образуют правовинтовую систему.

Уравнения электромагнитной волны
Связь между векторами

    \[\overline{E} и \[\overline{H}\]

в электромагнитной волне, распространяющейся в непроводящей среде, определяется уравнениями Максвелла, в которых

    \[\rho (плотность заряда)\]

и

    \[\overline{j}\]

(вектор плотности тока) полагают равными нулю:

    \[ \[rot\overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t},\ div\overline{D}=0\]

    \[ \[rot\overline{H}=\frac{\partial \overline{D}}{\partial t},\ div\overline{B}=0\ \qquad (1)\]

где

    \[\overline{E}\]

-напряженность электрического поля,

    \[\overline{B}\]

-вектор магнитной индукции,

    \[\overline{H}\]

-вектор магнитной напряженности,

    \[\overline{D}\]

— вектор электрического смещения.

Таким образом, система уравнений (1) есть уравнения электромагнитной волны в непроводящей среде.

В случае однородной, изотропной, непроводящей среды, не обладающей ферромагнитными или сегнетоэлектрическими свойствами уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:

    \[\overline{D}=\varepsilon {\varepsilon}_0\overline{E},\ \overline{B}=\mu {\mu}_0\overline{H}\]

    \[rot\overline{E}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial \overline{H}}{\partial t},\ div\overline{E}=0\]

    \[rot\overline{H}=\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial \overline{E}}{\partial t},\ div\overline{H}=0\ \qquad (2)\]

где

    \[ {\varepsilon}_0,\ {\mu}_0 \]

– электрическая и магнитная постоянные,

    \[\varepsilon, \mu\]

– относительные электрическая и магнитная проницаемость среды.

Векторы

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

поля электромагнитной волны можно выразить через скалярный

    \[\varphi\]

и векторный

    \[\overline{A}\]

потенциалы. Тогда уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:

    \[\overline{E}=-\frac{\partial \overline{A}}{\partial t}-grad\varphi ,\ \overline{H}=\frac{1}{\mu {\mu}_0}rot\overline{A}\]

    \[\Delta \varphi =\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2},\ \Delta \overline{A}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{A}}{\partial t^2}\]

    \[\Delta \overline{E}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{E}}{\partial t^2},\ \Delta \overline{H}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{H}}{\partial t^2}, \qquad (3)\]

где

    \[\Delta\]

— оператор Лапласа,

    \[ c=\frac{1}{\sqrt{{\varepsilon}_0{\mu}_0}}=3\cdot {10}^8\frac{m}{c},\ div\ \overline{A}=0\]

.

Каждая из проекций векторов

    \[\overline{A},\ \overline{E},\ \overline{H}\]

на оси прямоугольной декартовой системы координат и

    \[\varphi\]

удовлетворяют волновому уравнению(4):

    \[\Delta S_i=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial}^2s_i}{\partial t^2}\ \left(i=1,2,\dots ,10\right),\ \qquad (4)\]

где

    \[v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}}\]

– фазовая скорость электромагнитной волны,

    \[s_1=\varphi,\ s_2=A_x,\ s_3=A_y,\ \dots ,\ s_{10}=H_z\]

. В вакууме

    \[(\varepsilon = \mu =1).\ v=c\]

. Для всех сред кроме ферромагнитных,

    \[\mu \approx 1 и v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}\]

.

Определение и уравнение плоской электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитную волну называют плоской, если векторы

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

зависят только от времени и одной декартовой координаты.
Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox правовинтовой системы координат, уравнения электромагнитной волны запишутся в следующем виде:

    \[E_x=H_x=0\]

    \[\frac{\partial E_y}{\partial x}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial H_z}{\partial t},\ \frac{\partial E_z}{\partial x}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial H_y}{\partial t}\]

    \[\frac{\partial H_y}{\partial x}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial E_z}{\partial t},\ \frac{\partial H_z}{\partial x}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\]

    \[H_z=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0}{\mu {\mu}_0}}E_y,\ H_y=-\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0}{\mu {\mu}_0}}E_z\]

    \[\overline{E}=\sqrt{\frac{\mu {\mu}_0}{\varepsilon {\varepsilon}_0}}\ \overline{H}\cdot \overline{n}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}} rot \overline{A} \times \overline{n},\qquad (5)\ \]

где

    \[\overline{n}\]

– единичный вектор, проведенный в направлении распространении волны. Мы видим, что плоская электромагнитная волна может быть полностью определена с помощью одного лишь векторного потенциала

    \[\overline{A}\]

. В вакууме:

    \[H_y=-\sqrt{\frac{{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_z,\ H_z=\sqrt{\frac{{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_y\ \qquad (6)\]

    \[\sqrt{{\varepsilon}_0}E=\sqrt{{\mu}_0}\ H\ \qquad (7)\]

Определение и уравнение монохроматической электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитную волну называют монохроматической, если компоненты векторов

    \[\overline{E}\]

и

    \[\overline{H}\]

электромагнитного поля волны совершают гармонические колебания одинаковой частоты, называемой частотой волны. Произвольная немонохроматическая волна может быть представлена в виде совокупности монохроматических волн.
Напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны часто представляют в виде:

    \[\overline{E}=\overline{E_0}{ \cos \left(\overline{k}\overline{r}-wt\right)},\ \overline{H}=\overline{H_0}\cdot { \cos \left(\overline{k}\overline{r}-wt\right)} \qquad (8)\]

где k=w/v – волновое число.

Очевидно, что и комплексные функции эквивалентны выражению (8)

    \[\overline{E}\left(r,t\right)=\overline{E_0}{\exp \left(i\overline{k}\overline{r}-iwt\right)},\ \overline{H}\left(r,t\right)=\overline{H_0}{exp \left(i\overline{k}\overline{r}-iwt\right)} \qquad (9)\]

Здесь \overline{k}\] — волновой вектор, а его модуль равен величине

    \[k = \omega /r\]

.

Электрическое и магнитное поля плоской волны направлены перпендикулярно друг-другу.

Уравнение затухающих колебаний

    \[ \]

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:

    \[\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} +2\beta \frac{\partial x}{\partial t} +\omega_0^2 x=0\]

Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:

    \[x=Ae^{-\beta t} \cos (\omega t +\varphi_0 )\]

либо

    \[x=Ae^{-\beta t} \sin (\omega t +\varphi_0 )\]

.

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда.

    \[\beta\]

– коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

    \[\beta = \frac{r}{2m} \]

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) \omega_0 учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):

    \[\omega_0 =\frac{k}{m} \]

Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:

    \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} \]

Циклическая частота затухающих колебаний
Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:

    \[\omega =\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2} \]

Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:

    \[\tau = \frac{1}{\beta} \]

Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:

    \[D= \frac{A(t)}{A(t+T)} =e^{\beta T} \]

Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:

    \[\lambda =lnD=\beta T\]

Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

    \[Q= \frac{\sqrt{mk}}{r} \]

Уравнение Пуассона

    \[ \]

Уравнение Пуассона описывает адиабатный процесс, протекающий в идеальном газе. Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой:

    \[\delta Q =0\]

.Уравнение Пуассона имеет вид:

    \[ \[PV^{k} =const \]

Здесь V – объем, занимаемый газом, P – его давление, а величина k называется показателем адиабаты.

Уравнение Пуассона
Показатель адиабаты в уравнении Пуассона
Показатель адиабаты можно рассчитать, как отношение изобарной теплоемкости газа к его изохорной теплоемкости:

    \[  \[k=\frac{C_{p}}{C_{V}} \]

В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен

    \[\frac{5}{3}\]

, для двухатомного –

    \[\frac{7}{5}\]

, а для трёхатомного –

    \[\frac{4}{3}\]

.

Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет

    \[P_1\]

. Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного

    \[P_A\]

. После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до

    \[P_2\]

. Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:

    \[  \[k=\frac{P_1 -P_{A}}{P_1 -P_2} \]

Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики:

    \[\delta Q =\Delta U+A\]

, где

    \[\Delta U\]

— внутренняя энергия системы, а А – выполняемая над ней работа. Поскольку

    \[\delta Q =0\]

, то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:

    \[  \[A=\frac{nRT}{k-1} (1-(\frac{V_1}{V_2} )^{k-1} )\]

Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.

Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.

Уравнения Максвелла

    \[ \]

Система уравнений Максвелла является обобщением основных законов об электрических и электромагнитных явлениях. Она описывает абсолютно все электромагнитные явления. Являясь основой теории электромагнитного поля, эта система уравнений позволяет решать задачи, связанные с отысканием электрических и магнитных полей, создаваемых заданным распределением электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла были отправной точкой для создания общей теории относительности Эйнштейна. В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Уравнения сформулированы Дж. Максвеллом в шестидесятых годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов и развития идей ученых, исследовавших электромагнитные явления до него (Законы Кулона, Био – Савара, Ампера и, в особенности, исследования Фарадея). Сам Максвелл записал 20 уравнений с 20 неизвестными в дифференциальной форме, которые позднее были преобразованы. Современная форма Максвелла дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом. Запишем уравнения используя систему единиц Гаусса.

В состав системы уравнений Максвелла входят четыре уравнения.

Первое уравнение:

    \[  \[rot\overline{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}\qquad (1.1)\]

\]

Это Закон Фарадея (Закон электромагнитной индукции).

где

    \[\overline{E}\]

-напряженность электрического поля,

    \[\overline{B}\]

-вектор магнитной индукции, c – скорость света в вакууме.

Это уравнение говорит, о том, что ротор напряженности электрического поля

    \[\overline{E}\]

равен потоку (т.е. скорости изменения во времени) вектора магнитной индукции

    \[ \overline{B}\]

сквозь этот контур.Уравнение (1.1) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Это же уравнение можно записать в интегральной форме, тогда оно примет следующий вид:

    \[  \[\oint_L{\overline{E}\cdot \overline{dl}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \Phi_m}{\partial t}}\ (1.2.)\]

или

    \[  \[\oint_L{\overline{E}\cdot \overline{dl}=-\frac{1}{c}\int_S{\frac{\partial B_n}{\partial t}}}dS\]

где

    \[ B_n\]

– проекция на нормаль к площадке dS вектора магнитной индукции,

    \[\Phi_m\]

– магнитный поток.

Уравнения Максвелла в интегральной формерис. 2.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (ЭДС индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак минус по правилу Ленца означает направление индукционного тока.

Согласно Максвеллу закон электромагнитной индукции (а это именно он), справедлив для любого замкнутого контура, произвольно выбранного в переменном магнитном поле.

Смысл этого уравнения: Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла:

    \[  \[rot\overline{H}=\frac{4\pi}{c}\overline{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\qquad (2.1)\]

где

    \[ \overline{H}\]

-вектор магнитной напряженности,

    \[ \overline{j}\]

— плотность электрического тока,

    \[ \overline{D}\]

— вектор электрического смещения.

Данное уравнение Максвелла является обобщением эмпирического закона Био-Савара о том, что магнитные поля возбуждаются электрическими токами. Смысл второго уравнения в том, что источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле, магнитное действие которого характеризуется током смещения. ( \frac{\partial \overline{D}}{\partial t}-плотность тока смещения).

В интегральном виде второе уравнение Максвелла (Теорема о циркуляции магнитного поля) представлено следующим образом:

    \[  \[\oint_L{\overline{H}\cdot \overline{dl}} = \frac{4\pi}{c}\int_S{(j_n+\frac{1}{4\pi}\frac{\partial D_n}{\partial t})}ds\qquad (2.2)\]

или

    \[  \[\oint_L{\overline{H}\cdot \overline{dl}}=\sum^n_{k=1}{I_k+I_{shift}}\]

Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром.

Когда Максвелл вводил уравнения (более ста лет тому назад!), природа электромагнитного поля была не понятна. В настоящее время природа поля выяснена, и стало ясно, что I_{shift} может быть названo «током» лишь формально. По pяду расчетных соображений такое название, не придавая ему прямого физического смысла, целесообразно сохранить, что в электротехнике и делается. По этой же причине вектор D, входящий в выражение для тока смещения, называют вектором электрического смещения.

Помимо первых двух уравнений в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса-Остроградского для электрического и магнитного полей:

    \[  \[div\overline{D}=4\pi \rho \qquad (3.1)\]

и

    \[ \[div\overline{B}=0\qquad (4.1)\]

где

    \[\rho —плотность электрического заряда. Что в интегральном виде представляет собой следующее:  \[ \[\Phi_e=\oint_S{D_ndS}=4\pi q\qquad (3.2)\]

и

    \[ \[\Phi_m=\oint_S{B_ndS}=0\qquad (4.2)\]

где

    \[\Phi_e-поток электрического смещения \[\overline{D},\ \Phi_m\]

— поток магнитной индукции

    \[\overline{B}\]

сквозь замкнутую поверхность, охватывающую свободный заряд q.

Смысл уравнения 3.2. Электрический заряд – источник электрической индукции.

Уравнение 4.2 выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном виде (характеризует поле в каждой точке пространства):

    \[  \[rot\overline{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}\]

    \[  \[rot\overline{H}=\frac{4\pi}{c}\overline{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\]

    \[  \[div\overline{D}=4\pi \rho \]

    \[ \[div\overline{B}=0\]

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде
Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде (интегральная форма записи уравнений облегчает их физическую интерпретацию так ка делает их визуально ближе к известным эмпирическим законам):

    \[ \[\oint_L{\overline{E}\cdot \overline{dl}=-\frac{1}{c}\int_S{\frac{\partial B_n}{\partial t}}}dS\]

    \[  \[\oint_L{\overline{H}\cdot \overline{dl}}=\sum^n_{k=1}{I_k+I_{shift}}\]

    \[  \[\Phi_e=\oint_S{D_ndS}=4\pi q\]

    \[  \[\Phi_m=\oint_S{B_ndS}=0\]

Систему уравнений Максвелла дополняют «материальными уравнениями», связывающими векторы

    \[ \overline{E,\ } \overline{D,\ }\overline{B,\ } \overline{H\ } c величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды.  \[ \[\overline{D}=\varepsilon {\varepsilon}_0\overline{E}\]

    \[ \[\overline{B}=\mu {\mu}_0\overline{H}\]

    \[ \[\overline{j}=\gamma \overline{E}\]

где

    \[\varepsilon - относительная диэлектрическая проницаемость, \mu - относительная магнитная проницаемость, \[\gamma\]

-удельная электропроводность,

    \[{\varepsilon}_0 - электрическая постоянная, \[{\mu}_0\]

– магнитная постоянная. Среда предполагается изотропной, неферрромагнитной, несегнетоэлектрической.

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:

    \[  \[D_{1n}-D_{2n}=\sigma,\ B_{1n}=B_{2n}\]

    \[  \[H_{1\tau}-H_{2\tau}=j_{pov},\ E_{1\tau}=E_{2\tau}\]

где \sigma— поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в 1, \[\tau – единичный вектор, касательный к границе, \[j_{pov}— проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор.

Данные уравнения выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.

Взаимодействие токов

    \[ \]

Взаимодействие токов — приходящая на единицу длины каждого каждого из параллельных проводников, пропорциональна величинам токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

    \[\LARGE F=\frac{\mu _02l_1l_2}{4\pi b}\]

Одним из важных примеров магнитного взаимодействия токов является взаимодействие параллельных токов. Закономерности этого явления были экспериментально установлены Ампером. Если по двум параллельным проводникам электрические токи текут в одну и ту же сторону, то наблюдается взаимное притяжение проводников. В случае, когда токи текут в противоположных направлениях, проводники отталкиваются. Взаимодействие токов вызывается их магнитными полями: магнитное поле одного тока действует силой Ампера на другой ток и наоборот.

В формуле мы использовали :

F — Сила взаимодействия токов

    \[\mu _0 = 1,26*10^{-6}\]

— Магнитная постоянная

    \[l_1,l_2\]

— Длинна проводника

b — Расстояние между двумя проводниками

Закон Кулона

    \[ \]

Закон Кулона — Сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами пропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

    \[\LARGE F=k\frac{\left|q_1 \right|\left|q_2 \right|}{\varepsilon_0 \varepsilon r^2}\]

Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона:

    \[\vec{F}_{12}=\vec{F}_{21}\]

. Они являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках.

Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона зависит от выбора системы единиц. В Международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (Кл).

    \[\large k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\]

Отметим, чтоб выполнялся закон Кулона необходимо 3 условия:

1 условие : Точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров

2 условие : Неподвижность зарядов. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд

3 условие : Взаимодействие зарядов в вакууме

В формуле мы использовали :

F — Сила Кулона

    \[q_1 q_2\]

— Электрический заряд тела

r — Расстояние между зарядами

    \[\varepsilon_0 = 8,85*10^{-12}\]

— Электрическая постоянная

    \[ \varepsilon\]

— Диэлектрическая проницаемость среды

    \[ k = 9*10^9\]

— Коэффициент пропорциональности в законе Кулона

Атомная единица массы

    \[ \]

Атомная единица массы — внесистемная единица массы, применяемая для масс молекул, атомов, атомных ядер и элементарных частиц.

    \[\Large  1.a.e.m=1,660 540\times 10^{-27}\]

[Кг]

    \[\Large  1.a.e.m=1,660 540\times 10^{-24}\]

[г]

Так как 1 а.е.м. является величиной, обратно пропорциональной числу Авогадро, то молярная масса данного элемента, выраженная в граммах на моль, в точности совпадает с массой атома этого элемента, выраженной в а. е. м

Для нахождения Атомной единицы массы пользуются различными методами. Часть их основана на экспериментальном определении молекулярной массы какого-либо соединения данного элемента. В этом случае атомная масса равна доле молекулярной массы, приходящейся на этот элемент, деленной на число его атомов в молекуле.

Атомную массу Al определили следующим образом. Известные количества Al были превращены в нитрат, сульфат или гидроксид и затем прокалены до оксида алюминия

    \[(Al_2 O_3)\]

, количество которого точно определяли. Из соотношения между двумя известными массами и атомными массами алюминия и кислорода нашли атомную массу алюминия

    \[\Large \frac{Масса Алюминия}{Масса Оксида Алюминия}=\frac{2AL}{2AL+3O}=\frac{2AL}{2Al+(3\cdot 15.9)}\]

В формуле мы использовали :

1.a.e.m — Атомная единица массы

Боровский радиус

    \[ \]

Боровский радиус — радиус ближайшей к ядру орбиты электрона атома водорода в модели атома

    \[\LARGE a_0=\frac{h}{2\pi m_e\alpha c }=5.29*10^{-11} [m]\]

Боровский радиус часто используется в атомной физике в качестве атомной единицы длины. Определение Боровского радиуса включает не приведённую, а обыкновенную массу электрона и, таким образом, радиус Бора не точно равен радиусу орбиты электрона в атоме водорода. Это сделано для удобства: Боровский радиус в таком виде возникает в уравнениях, описывающих и другие атомы, где выражение для приведённой массы отлично от атома водорода

В формуле мы использовали :

    \[a_0\]

— Боровский радиус

    \[ h=6.626\times 10^{-34}\]

[Дж*с] — Постоянная планка

    \[ M_e= 9,109 382\times 10^{-31}\]

[Кг] — Масса электрона

    \[\alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon _0hc} = \frac{1}{137.035999}\]

— Постоянная тонкой структуры

    \[c=299 792 458 \left[ мс^{-1}\right]\]

— Скорость света в вакууме

Дефект массы ядра

    \[ \]

Дефект массы ядра — это разница между массой ядра и суммой масс всех нуклонов в ядре.

    \[\LARGE \Delta m=Z*m_p+N*m_n-m_u\]

Измерения масс ядер показывают, что масса ядра (Мя) всегда меньше суммы масс покоя слагающих его свободных нейтронов и протонов.

При делении ядра: масса ядра всегда меньше суммы масс покоя образовавшихся свободных частиц.

При синтезе ядра: масса образовавшегося ядра всегда меньше суммы масс покоя свободных частиц, его образовавших.

В формуле мы использовали :

    \[\Delta m\]

— Дефект массы

    \[m_n\]

— Масса нейтрона

    \[m_p\]

— Масса протона

    \[m_u\]

— Масса ядра

Z- число протонов

N=A-Z- число нуклонов

Закон радиоактивного распада

    \[ \]

Закон радиоактивного распада -описывает зависимость радиоактивного распада от времени и количестве радиоактивных атомов в данном образце

    \[ \Large N=N_0*e^{-\lambda t} \]

Для практического использования закон радиоактивного распада можно записать так :

    \[\Large N=N_0*2^{-\frac{t}{T}} \]

Время, за которое распадается половина первоначального числа радиоактивных ядер, называется периодом полураспада (Т). Чем меньше период полураспада, тем меньше живут атомы и следовательно тем быстрее происходит радиоактивный распад.

Для разных химических элементов величина периода полураспада различна : от миллионных долей секунд (например, полоний)до миллиардов лет (например, уран).

Число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону.

Закон радиоактивного распада

Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени, также падает экспоненциально

    \[\large  I(t) = I_0 e^{-\lambda t}\]

Таблица некоторых значений радиоактивного распада:

Закон радиоактивного распада таблица

В формуле мы использовали :

    \[N_0\]

— Начальное число радиоактивных ядре при t=0

T — Период полураспада

t — Время распада

    \[\lambda\]

— Постоянная распада (вероятность распада ядра в единицу времени)

I — Скорость распада

    \[I_0\]

— Скорость распада в начальный момент времени t = 0

Импульс фотона

    \[ \]

Импульс фотона — это импульс элементарной частицы (фотона), квант электромагнитного излучения (в узком смысле — света). Это частица, способная существовать и иметь массу только двигаясь со скоростью света.

    \[\LARGE p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda } \]

Фотон — это элементарная частица, которая всегда движется со скоро­стью света, а если остановится (что невозможно), то масса фотона станет нулевой, то есть масса покоя будет равняться 0. Следовательно, масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц, как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут находиться в состоянии покоя.

Если рассуждать, то можно понять, если фотон имеет импульс, следовательно свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Согласно квантовой теории, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.

Так же фотон имеет:

Энергия фотона:

    \[ \LARGE E=\frac{h\nu  }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }=\frac{h\omega }{2\pi c^2} \]

Массу фотона:

    \[ \LARGE m=\frac{h\nu  }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }=\frac{h\omega }{2\pi c^2}\]

В формуле мы использовали:

p — Импульс фотона

m — Масса фотона

E — Энергия фотона

    \[h = 6,6*10^{-34}\]

— Постоянная Планка

    \[\nu\]

— Частота волны

    \[ c= 3*10^8\]

— Скорость света в вакууме

    \[\lambda \]

— Длина волны

Комптоновская длина волны

    \[ \]

Комптоновская длина волны — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы

    \[\Large \lambda_0=\frac{2\pi \hbar }{mc}=\frac{h}{mc}\]

Формула комптоновской длины волны получается из формулы Де-Бройлевской длины волны путём замены скорости частицы v на скорость света c.

Де-Бройлевской длины волны :

    \[\large \lambda=\frac{h}{m\upsilon }\]

Название Комптоновская длина волны связано с тем, что величина

    \[\lambda_0\]

определяет изменение длины волны электромагнитного излучения при комптоновском рассеянии.

Для электрона :

    \[ \large \lambda_0^e=\frac{2\pi \hbar }{mc}=\frac{h}{mc}=2.42*10^{-12}\]

Для протона :

    \[\large \lambda_0^p=\frac{2\pi \hbar }{mc}=\frac{h}{mc}=1.32*10^{-15}\]

Чаще всего используется приведенная Комптоновская длина волны :

    \[\large \overline \lambda_0=\frac{\hbar }{mc}\]

Посчитаем приведенную Комптоновскую длину волны для электрона и протона

Для электрона :

    \[\large \overline \lambda_0^e=\frac{\hbar }{mc}=3.86*10^{-13}\]

Для протона :

    \[\large \overline \lambda_0^p=\frac{\hbar }{mc}=2.1*10^{-16}\]

Комптоновская длина волны определяет масштаб пространственных неоднородностей полей, при которых становятся существенными квантовые релятивистские процессы. Действительно, если рассматривается некоторое волновое поле, например электромагнитное, длина волны которого

    \[\lambda\]

меньше Комптоновская длина волны электрона

    \[\lambda_0\]

, то энергия квантов этого поля E=h\nu оказывается большей энергии покоя электрона

    \[mc^2\]

и, следовательно, в этом поле становится возможным и происходит рождение электрон-позитронных пар. Такие процессы порождения частиц описываются релятивистской квантовой теорией.

Комптоновская длина волны определяет также расстояние, на которое может удалиться виртуальная частица с массой m от точки своего рождения. Поэтому радиус действия ядерных сил по порядку величины равен Комптоновская длина волны p-мезона

    \[( \lambda_0 \sim 10^{-13})\]

. Аналогично, поляризация вакуума за счёт рождения виртуальных электрон-позитронных пар проявляется на расстояниях порядка Комптоновская длина волны электрона.

В Формуле мы использовали :

    \[\lambda_0\]

— Комптоновская длина волны

    \[\overline \lambda_0\]

— Приведенная Комптоновская длина волны

c=299792458 — Скорость света

    \[ h=6.6260^{−34}\]

— Постоянная Планка

    \[ m_e=9,1093820^{−31}\]

— Масса электрона

    \[\hbar\]

— Постоянная Дирака

Масса нейтрона

    \[ \]

Масса нейтрона — элементарная частица. Данная частица не имеет электрического заряда. Нейтрон является фермионом и принадлежит к классу барионов. Атомные ядра состоят из нейтронов и протонов

    \[\LARGE M_n= 1,674 927\times 10^{-27}\]

[Кг]

    \[\LARGE M_n= 939,565\]

[Мэв]

Масса нейтрона

В формуле мы использовали :

    \[ M_n\]

— Масса нейтрона

Масса протона

    \[ \]

Масса протона — элементарная частица. Относится к барионам, имеет спин 1/2, электрический заряд +1 (в единицах элементарного электрического заряда)

    \[\LARGE M_p= 1,672 621\times 10^{-27} \]

[Кг]

    \[\LARGE M_p= 938,2720 \]

[Мэв]

Отношение масс протона и электрона, равное 1836,152 672 1 или если сказать более наглядно, то 6\pi^5

В формуле мы использовали :

    \[ M_p\]

— Масса протона

Масса фотона

    \[ \]

Масса фотона — это масса элементарной частицы (фотона), квант электромагнитного излучения (в узком смысле — света). Это частица, способная существовать и иметь массу только двигаясь со скоростью света.

    \[ \Large m=\frac{h\nu  }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }=\frac{h\omega }{2\pi c^2}\]

Фотон не может иметь массу покоя, она будет равняться нулю. Фотон обладает массу, когда он двигается со скорость света.

Так же фотон имеет:

Энергия фотона:

    \[ \LARGE E=\frac{h\nu  }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }=\frac{h\omega }{2\pi c^2}\]

Импульс фотона:

    \[ \LARGE p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda } \]

В Формуле мы использовали :

m — Масса фотона

E — Энергия фотона

    \[h = 6,6*10^{-34}\]

— Постоянная Планка

    \[\nu\]

— Частота волны

    \[ c= 3*10^8\]

— Скорость света в вакууме

    \[\lambda\]

— Длина волны

Масса электрона

    \[ \]

Масса электрона — стабильная, отрицательно заряженная элементарная частица. Является фермионом (то есть имеет полуцелый спин).

    \[\LARGE M_e= 9,109 382\times 10^{-31} \]

[Кг]

Название «электрон» происходит от греческого слова, которое означает «янтарь». Еще в глубокой древней Греции естествоиспытателями проводились эксперименты — куски янтаря тёрли шерстью, после чего те начинали притягивать к себе мелкие предметы, такие как : мелкие бумажки, песчинки. Открытие электрона, как частицы принадлежит Э. Вихерту и Дж. Дж. Томсону, который в 1897 установил, что отношение заряда к массе для катодных лучей не зависит от материала источника.

В формуле мы использовали :

    \[ M_e \]

— Масса электрона

Орбитальный магнитный момент

    \[ \]

Орбитальный магнитный момент — Электрон двигающийся со скоростью v по орбите радиуса г через площадку, расположенную в любом месте на пути электрона, переносится в единицу времени заряд ev, где е — заряд электрона, a v — число оборотов в секунду

    \[\LARGE p_m=IS=e \upsilon \pi r^2 \]

Произведение

    \[2Пrv\]

дает скорость движения электрона v, поэтому можно написать, что

    \[\LARGE p_m=\frac{e\upsilon r}{2}\]

Орбитальный магнитный момент

Тут мы использовали :

    \[p_m\]

— Орбитальный магнитный момент

    \[\upsilon\]

— Число оборотов в секунду.

e — Заряд электрона

r — Радиус орбиты

Скорость радиоактивного распада

    \[ \]

Скорость радиоактивного распада — число распадов в единицу времени

    \[\large  I(t) = I_0 e^{-\lambda t}=I_0 2^{-\frac{t}{T}}\]

В общем виде скорость радиоактивного распада записывается, как :

    \[\Large I(t) = -\frac{dN}{dt}\]

Для того, чтоб нам стало более понятно, продифференцируем выражение для зависимости числа атомов от времени и получим:

    \[\large I(t) = -\frac{d}{dt} (N_0 e^{-\lambda t}) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = I_0 e^{-\lambda t}\]

И тогда у нас получается, что скорость радиоактивного распада

    \[\large  I(t) = I_0 e^{-\lambda t}=I_0 2^{-\frac{t}{T}}\]

Таким образом, зависимость от времени числа не распавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной ~\lambda

Таблица некоторых значений постоянных распада:

Скорость радиоактивного распада

В Формуле мы использовали :

I — Скорость распада

T — Период полураспада

t — Время распада

    \[N_0\]

— Начальное число радиоактивных ядре при t=0

    \[\lambda\]

— Постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени

    \[I_0\]

— Скорость распада в начальный момент времени t = 0

Среднее время жизни радиоактивного ядра

    \[ \]

Время жизни ядра — промежуток времени τ, в течение которого система распадается с вероятностью 1-1/e

    \[\Large   \tau = \frac{T_{1/2}}{ln2} =\frac{T_{1/2}}{0,693}=\frac{1}{\lambda}\]

Если рассматривается группу независимых частиц, то в течение времени τ число оставшихся частиц уменьшается (в среднем) в е раз от количества частиц в начальный момент времени.

    \[ \tau = -\frac{1}{N_0}\int_{N_0}^0 tdN = \lambda \int_0^\infty t e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda} \]

Таблица некоторых значений постоянных распада:

Скорость радиоактивного распада

В Формуле мы использовали :

    \[\tau\]

— Среднее время жизни радиоактивного ядра

    \[\lambda\]

— Постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени

e=2.7182 — Число Эйлера

    \[ T_{1/2}\]

— Период полураспада

Энергия фотона

    \[ \]

Энергия фотона — это энергия элементарной частицы (фотона), квант электромагнитного излучения (в узком смысле — света). Это безмассовая частица, способная существовать только двигаясь со скоростью света.

    \[\LARGE E=h\nu = h\frac{c}{\lambda }\]

Распространение света следует рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных частиц, движущихся со скоростью равную скорости света в вакууме. В 1926 году эти частицы получили название фотонов. Фотоны обладают всеми свойствами частицы (корпускулы).

Таким образом энергия фотона увеличивается с ростом частоты (или с уменьшением длины волны), например, фотон фиолетового света (0.38 мкм) имеет большую энергию, чем фотон красного света (0.77 мкм).

Так же фотон имеет:

Массу фотона:

    \[ \LARGE m=\frac{h\nu }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }=\frac{h\omega }{2\pi c^2} \]

Импульс фотона:

    \[ \LARGE p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda } \]

В формуле мы использовали :

E — Энергия фотона

    \[h = 6,6*10^{-34}\]

— Постоянная Планка

    \[\nu\]

— Частота волны

    \[ c= 3*10^8\]

— Скорость света в вакууме

    \[\lambda\]

— Длина волны

m — Масса фотона

Вторая космическая скорость

    \[ \]

Вторая космическая скорость — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления его гравитационного притяжения, чтоб удалиться на бесконечно большое расстояние.

    \[\Large  \upsilon _2=\sqrt{2 \frac{GM_3}{R+h}}\]

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой.

Ниже приведена таблица второй космической скорости для некоторых планет нашей солнечной системы:

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по дуге параболы относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой; если чуть меньше, то она превращается в эллипс.

Так же есть:

Первая космическая скорость:

    \[\large  \upsilon _1=\sqrt{\frac{GM_3}{R+h}}\]

В формуле мы использовали :

    \[\upsilon _2\]

— Вторая космическая скорость

    \[ G = 6,67420^{-11}\]

— Гравитационная постоянная

    \[ M_3 = 5.970^{24}\]

— Масса Земли

    \[R = 6.370^6\]

— Радиус Земли

h — Высота тела над поверхностью Земли

Второй закон Кеплера

    \[ \]

Второй закон Кеплера — Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

    \[\LARGE  r^2=\frac{d\theta }{dt}=C \]

    \[\LARGE  C=2\pi a^2\frac{\sqrt{1-e^2}}{P}\]

    \[\LARGE  e=\frac{c}{a}\]

Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

В Формуле мы использовали :

r — Расстояние от планеты до Солнца

a — Расстояние от центра эллипса до края по большему радиусу

c — Расстояние от центра эллипса до солнца

    \[ \theta \]

— Угол на который повернута планета

P — Период обращения планеты вокруг солнца

Второй закон Ньютона

    \[ \]

Второй закон Ньютона — Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение

    \[\Large \vec{F}=m\vec{a}\]

Второй закон Ньютона — Ускорение тела пропорционально силе, действующей на тело

Из Второго закона Ньютона следует :

Ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета:
— Прямо пропорционально действующей на точку силе;
— Обратно пропорционально массе точки;
— Направлено в сторону действия силы.

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например,F1,F2 и F3) то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

F=F1+F2+F3

В формуле мы использовали :

    \[ \vec{F}\]

— Сила действующая на тело

m — Масса тела

    \[\vec{a}\]

— Ускорение тела